Master Mathématiques et applications, parcours: Mathématiques appliquées, Calcul scientifique, Équations aux dérivées partielles, Probabilités, Statistiques (CEPS)

• Équations de réaction-diffusion et invasions biologiques

  François Hamel, 18h de cours; examen écrit à la fin du cours.

  Des phénomènes observés dans des contextes très variés sont modélisés par des propagations d'ondes ou de fronts progressifs : invasions d'espèces biologiques, propagations d'épidémies, propagations d'influx nerveux dans les neurones, etc.

  Ce cours développera des méthodes mathématiques pour analyser la propagation des fronts. Les propriétés fondamentales des équations elliptiques et paraboliques linéaires et non linéaires seront d'abord introduites.

  On se propose ensuite d'étudier l'existence de solutions de type fronts progressifs pour des équations de réaction-diffusion non linéaires, et d'en déterminer leur vitesse et leur stabilité pour les problèmes de Cauchy.

  On étudiera également les conditions de persistance ou d'extinction en temps long des solutions des problèmes de Cauchy. Différents cadres de modélisation faisant intervenir des fronts progressifs seront présentés.

  1. Introduction. Propagation d'ondes dans les milieux excitables, équations de réaction-diffusion, fronts plans.
  2. Rappels de résultats sur des équations elliptiques et paraboliques. Existence et estimations a priori, principes du maximum et principes de comparaison, valeur propre principale d'un opérateur elliptique.
  3. Ondes progressives planes. Existence de fronts, monotonie, unicité ou non des vitesses, formules pour les vitesses uniques ou minimales de fronts plans
  4. Dynamique des fronts. Stabilité d'ondes progressives planes, vitesse asymptotique de propagation.
  5. Fronts courbes, fronts coniques, fronts de vitesses variables. Interaction de fronts plans, solutions globales d’équations paraboliques du type KPP.
  6. 6. Vitesse de propagation. Formule spectrale, influence de la géométrie, de la réaction, de la diffusion et du transport, propagation dans des écoulements rapides.
  7. Dynamique des populations en environnement fragmente. Invasions biologiques dans des milieux hétérogènes, conditions pour la conservation ou l'extinction d'espèces.

• Scientific computing and statistical methods in ecology : applications to cloud turbulence and simulation of insect flight

  Kai Schneider, NF = 2/3 contrôle continu + 1/3 Oral

  (27h ETD = 14h cours + 6h TP/TD, mini-projects)

  Language : English, with discussion sessions in French

  This lecture shows by means of two concrete examples, turbulence in clouds and related rain formation caused by the clustering of droplets, as well as the numerical simulation of insect flight, the application of modern methods of scientific computing, modelling by partial differential equations and methods of probability theory and statistics. The lecture presents basic concepts of random point particles (Poisson distribution) in turbulence, Voronoi tesselation for analysis, Monte-Carlo simulations, as well as PDE-based flow simulations, including fluid-structure interaction and basics of turbulence modeling with reference to current research projects.  Lectures are completed by mini-projects chosen by the students, which deal with some fundamentals on flow simulation, Monte-Carlo methods and statistical estimation. They are graded (report and oral presentation) and contain programming tasks in python or similar.

  Possible projects:

  • project 1: generation of random particle fields and statistical estimation of the particle number density and spectra in 2d.
  • project 2: transport of random particles (with and without inertia by given 2d velocity fields, which are either divergence or curl free). ODE solver for particle velocity. Analysis of clusters and void regions.
  • project 3: numerical solution of the heat equation with a moving wall (simplified Stefan problem in 1d)

  Keywords: Navier-Stokes equations, Stokes drag, Monte-Carlo, spectral methods for PDEs, immersed boundary methods, histograms, power spectra, clustering and void formation. Divergence and curl of flow fields, transport of particles, ODE solvers, interpolation.

  Prerequisites:

  • basics in PDEs (heat equation, transport equation, boundary conditions);
  • basics in numerics (interpolation, finite difference/volume schemes);
  • basics in probability and statistics (estimation of power density, probability distribution, moments, noise);
  • basics in programming and visualization (python or another high-level language);

  Competences to be aquired:

  • Particle transport with div-free and curl-free velocity fields, analysis of voids and clustering;
  • Statistical estimation of particle densities and spectra;
  • Mesh: Lagrangian versus Eulerian grids, Voronoi tesselation for mesh generation;
  • PDEs with moving boundaries, immersed boundary methods;
  • Simulation of PDEs: spectral methods (using FFT), coupling of different approaches (fluid-solid solvers)

• Modèles aléatoires en écologie et évolution

  Raphael Forien (14h CM, 6h TD), examen écrit

  La théorie de l'évolution décrit les processus écologiques et évolutifs qui façonnent la composition des populations et des communautés au cours des générations. Cette théorie a été progressivement formalisée dans un cadre mathématique au cours du XXe siècle, et continue de faire l'objet d'un nombre important de développement, notamment en probabilités.
  Ce cours présentera quelques modèles probabilistes permettant de décrire l'évolution de populations d'individus soumis à diverses forces écologiques et évolutives : compétition, sélection naturelle, mutations, etc. Nous étudierons pour cela des processus de naissance-mort avec interactions, des processus de branchement multi-types, ainsi que des modèles de génétique des populations. Nous verrons comment obtenir des approximations de ces processus dans différents régimes de paramètres, afin de décrire l'évolution à long terme de ces populations. Ce cours sera l'occasion d'étudier la convergence de processus stochastiques et d'appliquer les notions abordées dans les cours de probabilités du premier semestre.

• Écoulement en eaux peu profondes

  Charlotte Perrin (15hCM) et Thierry Gallouët (4.5h TP), 1/2 TP/CC + 1/2 Examen final

  Le but de ce cours est de présenter quelques éléments d’analyse théorique et numérique des équations de Saint-Venant modélisant des écoulements en eaux peu profondes.

  La première partie de ce cours montrera comment le système Saint-Venant peut être obtenu comme modèle « réduit » des équations de Navier-Stokes. Nous aborderons dans une deuxième partie quelques caractéristiques (en dimension d’espace égale à un) des solutions de ces équations en lien avec l’analyse des systèmes hyperboliques : rappels sur les solutions faibles et critère d’entropie, invariants de Riemann, ondes de choc et détentes, résolution du problème de Riemann. Enfin la dernière partie sera consacrée à la discrétisation des équations de Saint-Venant, on étudiera différents schémas de type volumes finis sur plusieurs cas tests (formation de discontinuités, rupture de barrage).

  TP : exemples de schémas numériques pour les équations de st-venant a 1D d'espace

• Statistique Bayésienne computationnelle, application à l'étude du CO2 dans l'atmosphère

  Christophe Gomez, Projet à rendre avec présentation oral

  Dans ce cours nous présenterons l'approche Bayésienne de la problématique d'estimation de paramètres en statistique et verrons sa mise en oeuvre pratique. Pour se faire, nous introduirons le principe des méthodes MCMC (Monte-Carlo Markov Chain) et présenterons certains algorithmes de simulation de ces chaînes de Markov. En particulier nous introduirons la méthode HMC (Hamiltonian Monte-Carlo). Nous utiliserons cette approche pour étudier l'évolution de la concentration en CO2 dans l'atmosphère à partir de jeux de données.

• Équations de réaction-diffusion et invasions biologiques

  François Hamel, 18h de cours; examen écrit à la fin du cours.

  voir 2021-2022 pour une description possible du cours

  SMADU42G - Cours spécialisé MA-CEPS 1

• cours de calcul scientifique

  Kai Schneider, NF = 2/3 contrôle continu + 1/3 Oral

  (27h ETD = 14h cours + 6h TP/TD, mini-projects)

  Language : English, with discussion sessions in French

  Adaptive numerical methods for PDEs' avec une partie ondelettes, analyse multiresolution et raffinement du maillage (AMR).

   ou methodes spectrales pour EDP

  SMADU51G - Cours spécialisé MA-CEPS 2

   

• Modèles aléatoires en écologie et évolution

  Raphael Forien (14h CM, 6h TD), examen écrit

  La théorie de l'évolution décrit les processus écologiques et évolutifs qui façonnent la composition des populations et des communautés au cours des générations. Cette théorie a été progressivement formalisée dans un cadre mathématique au cours du XXe siècle, et continue de faire l'objet d'un nombre important de développement, notamment en probabilités.
  Ce cours présentera quelques modèles probabilistes permettant de décrire l'évolution de populations d'individus soumis à diverses forces écologiques et évolutives : compétition, sélection naturelle, mutations, etc. Nous étudierons pour cela des processus de naissance-mort avec interactions, des processus de branchement multi-types, ainsi que des modèles de génétique des populations. Nous verrons comment obtenir des approximations de ces processus dans différents régimes de paramètres, afin de décrire l'évolution à long terme de ces populations. Ce cours sera l'occasion d'étudier la convergence de processus stochastiques et d'appliquer les notions abordées dans les cours de probabilités du premier semestre.

  SMADU56G - Cours spécialisé MA-CEPS 5

• Modèles de transport en biologie

  Florence Hubert

  SMADU52G - Cours spécialisé MA-CEPS 3

• Méthodes statistiques modernes en imagerie cérébrale

  Jean-Marc Freyermuth

  SMADU55G - Cours spécialisé MA-CEPS 4

Choisir 4 UE parmi 5

• Cours EDP

  Charlotte PERRIN

  Analyse mathématique pour les fluides incompressibles

  15CM + 4h TP

  Le but de ce cours est d'introduire et d'analyser mathématiquement les modèles d'écoulements de fluides en régime dit incompressible dans lequel la densité reste constante. Plus précisément, les principaux résultats théoriques du cours porteront sur l'existence locale en temps de solutions régulières d'une part, et d'autre part sur le lien entre existence globale en temps et accumulation de vorticité (qui mesure l'intensité de la rotation au sein de l'écoulement) pour les équations d'Euler. Si le temps le permet, nous aborderons le cas des solutions faibles (peu régulières) et introduirons quelques sujets de recherche actuels.
   

  Une séance de TP (4h) sur la résolution numérique du modèle centre-guide (Euler 2D sous forme de vorticité) M. MEHRENBERGER

   

  SMADU42G - Cours spécialisé MA-CEPS_1

• cours de calcul scientifique

  Kai Schneider, NF = 2/3 contrôle continu + 1/3 Oral

  (27h ETD = 14h cours + 6h TP/TD, mini-projects)

  Language : English, with discussion sessions in French

  Adaptive numerical methods for PDEs' avec une partie ondelettes, analyse multiresolution et raffinement du maillage (AMR).

   ou methodes spectrales pour EDP

  SMADU51G - Cours spécialisé MA-CEPS 2

   

• Processus de Lévy

  Rémi RHODES (16h CM, 3h TD)

   

  SMADU52G - Cours spécialisé MA-CEPS 3

• Cours proba-stat

  Mitra Fouladirad (Ecole Centrale, Marseille)

  SMADU56G - Cours spécialisé MA-CEPS_5

• Cours mixte

  Clothilde MELOT

  Représentation parcimonieuse des données, réduire leur dimension.

  Dans ce cours on abordera les sciences des données à partir du concept de représentation parcimonieuse et de ses applications en traitement du signal. On dit qu'on a une représentation parcimonieuse d'un vecteur de données si il est possible de trouver un système générateur ou même une base dans laquelle le vecteur peut être décrit ou bien approché par une combinaison linéaire d'un petit nombre de vecteurs de la famille. Ce concept a émergé à partir de la fin des années 80 en mathématiques pour le traitement du signal. Il continue de jouer un rôle clé en particulier dans le contexte actuel des "big data" et des dépenses d'énergie liées au stockage et à la manipulation de données de grande dimension. En effet le fait d'être capable de représenter des données comme une combinaison d'un petit nombre de vecteurs facilite considérablement les opérations de traitement et d'analyse de ces données, et permet par exemple une baisse du nombre d'opérations informatiques nécessaires pour leur manipulation, ce qui réduit la consommation d'énergie.

  On commencera par présenter les bases et transformées maintenant classiques (Fourier et ondelettes) dans lesquels certains types de données sont naturellement parcimonieux. On fera le lien entre propriétés de régularité d'une fonction et parcimonie dans une base. On montrera l'intérêt d'utiliser de telles décompositions en traitement du signal pour des problèmes de débruitage et de déconvolution. On étudiera ensuite plusieurs algorithmes qui permettent de calculer de telles décompositions et on étudiera leurs propriétés mathématiques. On finira enfin par expliquer les méthodes récentes de réduction de dimension en particulier par projections aléatoires.

  Le cours sera articulé autour de mini projets basés sur des applications en traitement du signal.

  Référence: 
  Cours "La malédiction de la grande dimension" S. Mallat
  https://www.college-de-france.fr/site/stephane-mallat/course-2017-2018.htm

  SMADU55G - Cours spécialisé MA-CEPS 4

UE Socle commun 6ECTS

• EDP

  François Hamel, 10h de cours

  Ce cours portera sur l'existence, l'unicité et des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles essentiellement linéaires de type transport, équation de Laplace, équation de Poisson, équation de la chaleur et équation des ondes.
  On montrera des formules explicites ainsi que des propriétés d'unicité, par différentes méthodes (caractéristiques, énergie, convolution avec des solutions fondamentales).

  Évaluation: Examen écrit 1h30 Note N1

• Calcul Scientifique

  Julien Olivier, 6h de cours et 6h de TP

  Ce cours commencera avec une initiation à Python qui sera déclinée en approfondissements pour les étudiants déjà familiers avec ce langage de programmation.On étudiera et comparera ensuite différentes discrétisations élémentaires du problème 1D aux limites -u''=f, u(0)=u(1)=0 (différences finies, volumes finis, éléments finis). On étudiera quelques propriétés théoriques de certains schémas et on les mettra également en oeuvre en TP. On abordera également la discrétisation volumes finis du problème de transport $u_t+cu_x=0$ a vitesse constante. On mettra en évidence numériquement et théoriquement les propriétés de stabilité et de convergence de ces discrétisations. On effectuera au passage quelques rappels sur les équations différentielles ordinaires et leur discrétisation.

  Évaluation: TP noté 2h Note N2

• Probabilités

  Pierre Mathieu, 10h de cours

  Ce cours reverra les différentes notions de convergences des variables aléatoires, les théorèmes limites classiques et des éléments de la théorie de mesure.
  On étudiera ensuite l'espérance conditionnelle dans le cas général qui nous permettra de définir des Martingales. Les cours se terminera avec des propriétés classiques des Martingales en faisant le lien avec des applications

  Évaluation: Examen écrit 1h30 Note N3

• Statistiques

  Oleg Lepski, 10h de cours

  Modèles paramétriques. Construction d'estimateurs consistants. Méthodes particulières. Comparaison d'estimateurs, introduction à la théorie minimax. Quelques modèles non paramétriques. Estimateurs à noyau et polynomiaux par morceaux.

  Évaluation: Examen écrit 1h30 Note: N4

  Note de l'UE "Socle Commun": N=0.25*(N1+N2+N3+N4)

Les UE du S1A: choisir 3 UE parmi 5

• Mouvement brownien et Laplacien

  Maxime Hauray, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 1, première période

  Histoire du Mouvement brownien, introduction via les marches aléatoires. On introduira la longue histoire du mouvement Brownien, de sa première observation, à ses explications physiques, et sa conceptualisation mathématique. On étudiera la convergence des marches aléatoires vers ce nouvel objet mathématique : le mouvement Brownien. On donnera sa définition mathématique rigoureuse et ses premières propriétés. Propriétés du Mouvement Brownien. Intégrale stochastique, formule d’Itô. On continuera l’étude des propriétés du mouvement Brownien (régularité des trajectoires, temps de sortie,…). On expliquera comment définir l’intégrale stochastique au sens d’Ito, en insistant sur la fondamentale formule d’Ito.
  Lien avec l’équation de la chaleur. Ces outils probabilistes nous permettrons de basculer vers l’analyse. Grâce à la formule d’Ito, nous ferrons le lien avec l’équation de la chaleur. Nous parlerons des solutions fondamentales de celles-ci, de son noyau, et des liens avec les probabilités de transition du mouvement Brownien. On expliquera comment le mouvement Brownien permet de donner des représentations probabilistes d’équations elliptiques (voire paraboliques).
  Simulation. Schéma d’Euler explicite. Aperçu des problèmes posés quand le terme intégré dépend du Brownien.

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE [examen terminal écrit durant 3h]

• Calcul scientifique

  Florence Hubert, 14h de cours et 6h de TP - Semestre 1, première période

  Une partie de ce cours sera spécifiquement consacré à l'apprentissage d'outils plus avancés de Python: utilisation avancée de Numpy, manipulation des matrices creuses et conception orientée-objet. Du point de vue mathématique, ce cours sera centré sur l'étude d'équations en 1 dimension d'espace: retours/compléments sur l'équation de transport (stabilité de Von Neumann, décentrement, condition CFL), équation d'advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Ce cours sera l'occasion de découvrir ou d'approfondir certaines propriétés des schémas numériques (stabilité, convergence,\dots) qui n'auront pas été traité dans les autres cours. Les schémas seront essentiellement des schémas de type volumes finis. Une grande partie du temps sera consacré à l'élaboration de la démarche de calcul scientifique : cas-tests académiques pour validation, courbes d'erreur, avant des tests dans des cas plus généraux.

  Évaluation: Session unique CT 4h; note de l'UE  = 1/3 TP +2/3 Mémoire [examen terminal sur ordinateur (TP, 1/3 de la note) et rendu de projet (2/3 de la note)]

• Modèles markoviens

  Pierre Mathieu, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 1, première période

  On s'intéressera dans ce cours à la notion de convergence vers l'équilibre de chaînes de Markov discrètes, à travers de nombreux exemples.
  Nous étudierons plus particulièrement les notions de distance en variation totale, ses liens avec les couplages de chaînes de Markov, les temps de mélange, et enfin le phénomène de cut-off. Toutes ses notions seront illustrées par de nombreux exemples (battage de cartes, marches aléatoires, modèle d'Ising, etc...).

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

• Méthodes d’estimation paramétrique

  Oleg Lepski (cours) et Christophe Gomez (TP), 12h de cours et 9h de TP - Semestre 1, première période

  Étude approfondie des méthodes bayésiennes et du maximum de vraisemblance. Inégalités exponentielles (échantillon fini). Optimalité de ces méthodes d'après l'approche minimax via la normalité asymptotique locale. Illustration numérique des méthodes présentées en cours et leurs limites. Calcul d'estimateurs dans des modèles plus compliqués nécessitant le recours à des méthodes numériques (algorithme EM, MCMC).

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

• EDP : aspects théoriques

  Mihai Bostan, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 1, première période

  Rappel d Analyse fonctionnelle et de la théorie de la mesure fonctions mesurables, intégrables les espaces Lp dans un ouvert de RN, dualité dans Lp, utilisation des dérivées faibles, espaces de Sobolev.

  Espaces H1, H2, théorème d injection, inégalité de Poincaré, résolution des équations elliptiques, équation de Laplace, Poisson.

  Lemme de Lax Milgram, minimisation d une fonctionnelle, projection sur un convexe.

  Équations de transport : solutions fortes, faibles, flot caractéristiques, transport de l'élément de volume, théorème de Liouville, applications aux équations cinétiques

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE [examen terminal écrit durant 3h]

Les UE du S1B: choisir 3 UE parmi 6

• Calcul stochastique

  Sébastien Darses, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 1, seconde période

  Ce cours s'inscrit dans la continuité du cours Mouvement brownien et laplacien par Maxime Hauray. On révisera rapidement le Mouvement Brownien, comme objet prototype des processus gaussiens, processus de Markov et Martingales. On étendra le calcul stochastique vu dans le cours précédent aux martingales, on introduira et étudiera les équations différentielles stochastiques, les processus de diffusion, la représentation de solution d'EDP paraboliques et le théorème de Girsanov. On évoquera quelques applications en Mathématiques financières. On s'appuiera également sur le livre de Comets Meyre : Calcul stochastique et modèles de diffusion. 

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

• Statistique mathématique

  Oleg Lepski, 18h de cours - Semestre 1, seconde période

  • Théorie minimax sur les classes fonctionnelles:
  • Estimation d'une densité de probabilité en un point fixé et dans la norme Lp sur la classe de Nikol'skii. Méthode à noyau.

  Estimation d'une densité multivariée.

  2) Modèle du bruit blanc gaussien. Estimation d'un signal dans L2 sur la classe de Sobolev. Méthode par projection. Estimation d'un signal dans Lp sur la classe d'H\"older. Méthode polynomiale par morceaux.

  3) Bornes inférieurs pour les risques minimax.

   - Introduction à la théorie adaptative.

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

• Méthodes numériques probabilistes

  Bruno Schapira et Christophe Gomez, 12h de cours et 12h de TP - Semestre 1, seconde période

  Ce cours présentera différents algorithmes basés sur des outils probabilistes, et permettant de résoudre divers problèmes : simulation de variables aléatoires, calcul approché d'intégrales, simulation de mesure invariante, optimisation stochastique,...

  Évaluation: Session unique CT 1h; note de l'UE  = 1/2 Oral + 1/2 Mémoire [la note est basée sur un projet avec un support à rendre et un oral

• EDP : aspects numériques

  Michel Mehrenberger, 14h de cours et 6h de TP - Semestre 1, seconde période

  Ce cours sera constitué de deux parties. Dans une première partie on présentera le principe général des méthodes de Galerkin pour la résolution d'EDP elliptiques linéaires, on commencera par introduire formellement les espaces de Sobolev multi-dimensionnels, puis la formulation variationnelle approchée (bien posée) qui se ramène à la résolution d'un système linéaire avec de bonnes propriétés et le lemme de Céa. On verra enfin que la question centrale reste alors celle de l'approximation d'une fonction dans l'espace de dimension fini choisi.
  On étudiera ensuite en détails le cas d'éléments finis P1 1D. On commencera par voir comment l'usage des fonctions de forme permet d'obtenir dans ce cas un système tridiagonal. On établira des estimations d'erreurs dans ce cas (erreur en norme H1 et puis en norme L2 grâce au problème dual). En TP, on implémentera ces éléments finis P1 1D et on tracera les courbes d'erreurs correspondantes (2h environ). On présentera ensuite un ou plusieurs exemples plus complexes (principe vu en cours et implémentation/courbes d'erreurs en TP) : différentes conditions aux bords, cas P2 1D...       

  Dans une seconde partie on s'intéressera à la discrétisation de l'équation de transport 1D. On commencera par l'étude des schémas différences finies centré, décentrés (convergence du schéma décentré amont et non-stabilité au sens de Von Neumann des autres) dans le cas d'une vitesse et d'une condition initiale régulières. On s'intéressera ensuite au cas d'une vitesse constante et d'une donnée initiale $L^\infty$ et on étudiera la convergence du schéma volume fini décentré amont : estimations uniforme et Weak BV, compacité faible * séquentielle , et enfin convergence. 

  Évaluation: Session unique CT 3h; note de l'UE  = 2/3 Examen écrit + 1/3 Mémoire  [examen terminal écrit durant 3h (2/3 de la note) et rendus de TP (1/3 de la note)]

• EDP avancées

  Enea Parini, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 1, seconde période

  Ce cours est dans la continuation naturelle de l'UE "EDP - aspects théoriques". Après avoir introduit les espaces de Sobolev en dimension N, on abordera dans un premier temps des EDP elliptiques, pour ensuite traiter le cas des EDP paraboliques, notamment l'équation de la chaleur avec un terme de source, et les équations de réaction-diffusion. Plus précisément :

  Espaces de Sobolev en dimension N. Théorèmes de plongement et de compacité.
  Formulation faible des EDP elliptiques. Existence d'une solution par méthode variationnelle. Principe du maximum. Résultats de régularité intérieure.
  EDP paraboliques: existence d'une solution par méthode de Galerkin. Principe du maximum parabolique. Comportement asymptotique. Équations de réaction-diffusion.

  Évaluation: un oral qui donne la note de l'UE

• Calcul scientifique avancé

  Julien Olivier, 14h de cours et 6h de TP, Semestre 1 - seconde période

  Ce cours est centré sur les schémas numériques volumes finis pour les équations en 2 dimensions d'espace : transport et advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Une bonne partie du cours est consacré à la manipulation de maillage ``volumes finis'' et à l'assemblage des matrices des schémas par la structure arête. On étudiera certaines propriétés de ces schémas numériques (stabilité $L^2$ ou $L^\infty$, convergence,  préservation de la positivité,...). Dans ce cours on développera également la démarche de calcul scientifique (cas-tests, courbes d'erreur,...)

  Évaluation : Session unique CT 4h; note de l'UE  = 1/3 TP +2/3 Mémoire [examen terminal sur ordinateur (TP, 1/3 de la note) et rendu de projet (2/3 de la note)]

Autres UE Semestre 1

• Anglais

  Marion Calvini-Lefevbre, 18h de TD

  Évaluation: CCI, NF = 0.2*CC1+0.4*CC2+0.4*CC3 (contrôle continu intégral)

• PPPE

  Maxime Hauray, 18h de TD

  Évaluation: Session unique CT (1h), NF = 1/2 Mémoire + 1/2 Oral (Oral avec rendu de projet)

Cours proposés à l'école Centrale

• Sélection de cours

  Des cours issus du nouveau parcours Climaths de l’École Centrale pourront être choisis.

  Voir la description des cours

  Les cours suivants pourront être choisis (comptent pour le semestre 2, mais certains cours seront au semestre 1), sous réserve de compatibilité au niveau des emplois du temps :

  • Slot 1 : Analyse et simulation de traffic routier-opinion, T. Goudon
  • Slot 2 : EDP en biologie, G. Chiavassa, J. Liandrat et M. Tournus
  • Slot 3 : Apprentissage statistique, C. Pouet

UE Socle commun 6ECTS

• EDP

  Philippe ANGOT, 10h de cours

  Ce cours portera sur l'existence, l'unicité et des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles essentiellement linéaires de type transport, équation de Laplace, équation de Poisson, équation de la chaleur et équation des ondes.
  On montrera des formules explicites ainsi que des propriétés d'unicité, par analyse de Fourier.

  Évaluation: Examen écrit 2h Note N1

• Calcul Scientifique

  Julien Olivier, 6h de cours et 6h de TP

  Ce cours commencera avec une initiation à Python qui sera déclinée en approfondissements pour les étudiants déjà familiers avec ce langage de programmation.On étudiera et comparera ensuite différentes discrétisations élémentaires du problème 1D aux limites -u''=f, u(0)=u(1)=0 (différences finies, volumes finis, éléments finis). On étudiera quelques propriétés théoriques de certains schémas et on les mettra également en oeuvre en TP. On abordera également la discrétisation volumes finis du problème de transport $u_t+cu_x=0$ a vitesse constante. On mettra en évidence numériquement et théoriquement les propriétés de stabilité et de convergence de ces discrétisations. On effectuera au passage quelques rappels sur les équations différentielles ordinaires et leur discrétisation.

  Évaluation: TP noté 2h Note N2

• Probabilités

  Pierre Mathieu, 10h de cours

  Ce cours reverra les différentes notions de convergences des variables aléatoires, les théorèmes limites classiques et des éléments de la théorie de mesure.
  On étudiera ensuite l'espérance conditionnelle dans le cas général qui nous permettra de définir des Martingales. Les cours se terminera avec des propriétés classiques des Martingales en faisant le lien avec des applications

  Évaluation: Examen écrit 1h30 Note N3

• Statistiques

  Oleg Lepski, 10h de cours

  Modèles paramétriques. Construction d'estimateurs consistants. Méthodes particulières. Comparaison d'estimateurs, introduction à la théorie minimax. Quelques modèles non paramétriques. Estimateurs à noyau et polynomiaux par morceaux.

  Évaluation: Examen écrit 1h30 Note: N4

  Note de l'UE "Socle Commun": N=0.25*(N1+N2+N3+N4)

Les UE du S3A: choisir 3 UE parmi 5

• Mouvement brownien et Laplacien

  Maxime Hauray, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 3, première période

  Histoire du Mouvement brownien, introduction via les marches aléatoires. On introduira la longue histoire du mouvement Brownien, de sa première observation, à ses explications physiques, et sa conceptualisation mathématique. On étudiera la convergence des marches aléatoires vers ce nouvel objet mathématique : le mouvement Brownien. On donnera sa définition mathématique rigoureuse et ses premières propriétés. Propriétés du Mouvement Brownien. Intégrale stochastique, formule d’Itô. On continuera l’étude des propriétés du mouvement Brownien (régularité des trajectoires, temps de sortie,…). On expliquera comment définir l’intégrale stochastique au sens d’Ito, en insistant sur la fondamentale formule d’Ito.
  Lien avec l’équation de la chaleur. Ces outils probabilistes nous permettrons de basculer vers l’analyse. Grâce à la formule d’Ito, nous ferrons le lien avec l’équation de la chaleur. Nous parlerons des solutions fondamentales de celles-ci, de son noyau, et des liens avec les probabilités de transition du mouvement Brownien. On expliquera comment le mouvement Brownien permet de donner des représentations probabilistes d’équations elliptiques (voire paraboliques).
  Simulation. Schéma d’Euler explicite. Aperçu des problèmes posés quand le terme intégré dépend du Brownien.

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE [examen terminal écrit durant 3h]

• Calcul scientifique

  Florence Hubert, 14h de cours et 6h de TP - Semestre 3, première période

  Une partie de ce cours sera spécifiquement consacré à l'apprentissage d'outils plus avancés de Python: utilisation avancée de Numpy, manipulation des matrices creuses et conception orientée-objet. Du point de vue mathématique, ce cours sera centré sur l'étude d'équations en 1 dimension d'espace: retours/compléments sur l'équation de transport (stabilité de Von Neumann, décentrement, condition CFL), équation d'advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Ce cours sera l'occasion de découvrir ou d'approfondir certaines propriétés des schémas numériques (stabilité, convergence,\dots) qui n'auront pas été traité dans les autres cours. Les schémas seront essentiellement des schémas de type volumes finis. Une grande partie du temps sera consacré à l'élaboration de la démarche de calcul scientifique : cas-tests académiques pour validation, courbes d'erreur, avant des tests dans des cas plus généraux.

  Évaluation: Session unique CT 4h; note de l'UE  = 1/3 TP +2/3 Mémoire [examen terminal sur ordinateur (TP, 1/3 de la note) et rendu de projet (2/3 de la note)]

• Modèles markoviens

  Pierre Mathieu, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 3, première période

  On s'intéressera dans ce cours à la notion de convergence vers l'équilibre de chaînes de Markov discrètes, à travers de nombreux exemples.
  Nous étudierons plus particulièrement les notions de distance en variation totale, ses liens avec les couplages de chaînes de Markov, les temps de mélange, et enfin le phénomène de cut-off. Toutes ses notions seront illustrées par de nombreux exemples (battage de cartes, marches aléatoires, modèle d'Ising, etc...).

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

• Méthodes d’estimation paramétrique

  Oleg Lepski (cours) et Jean-Marc Freyermuth (TP), 12h de cours et 9h de TP - Semestre 3, première période

  Étude approfondie des méthodes bayésiennes et du maximum de vraisemblance. Inégalités exponentielles (échantillon fini). Optimalité de ces méthodes d'après l'approche minimax via la normalité asymptotique locale. Illustration numérique des méthodes présentées en cours et leurs limites. Calcul d'estimateurs dans des modèles plus compliqués nécessitant le recours à des méthodes numériques (algorithme EM, MCMC).

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

• EDP : aspects théoriques

  François HAMEL, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 1, première période

  Rappel d Analyse fonctionnelle et de la théorie de la mesure fonctions mesurables, intégrables les espaces Lp dans un ouvert de RN, dualité dans Lp, utilisation des dérivées faibles, espaces de Sobolev.

  Espaces H1, H2, théorème d injection, inégalité de Poincaré, résolution des équations elliptiques, équation de Laplace, Poisson.

  Lemme de Lax Milgram, minimisation d une fonctionnelle, projection sur un convexe.

  Équations de transport : solutions fortes, faibles, flot caractéristiques, transport de l'élément de volume, théorème de Liouville, applications aux équations cinétiques

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE [examen terminal écrit durant 3h]

Les UE du S3B: choisir 3 UE parmi 5

• Calcul stochastique

  Bruno SCHAPIRA, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 3, seconde période

  Ce cours s'inscrit dans la continuité du cours Mouvement brownien et laplacien par Maxime Hauray. On révisera rapidement le Mouvement Brownien, comme objet prototype des processus gaussiens, processus de Markov et Martingales. On étendra le calcul stochastique vu dans le cours précédent aux martingales, on introduira et étudiera les équations différentielles stochastiques, les processus de diffusion, la représentation de solution d'EDP paraboliques et le théorème de Girsanov. On évoquera quelques applications en Mathématiques financières. On s'appuiera également sur le livre de Comets Meyre : Calcul stochastique et modèles de diffusion. 

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

• Statistique mathématique

  Oleg Lepski, 18h de cours - Semestre 3, seconde période

  • Théorie minimax sur les classes fonctionnelles:
  • Estimation d'une densité de probabilité en un point fixé et dans la norme Lp sur la classe de Nikol'skii. Méthode à noyau.

  Estimation d'une densité multivariée.

  2) Modèle du bruit blanc gaussien. Estimation d'un signal dans L2 sur la classe de Sobolev. Méthode par projection. Estimation d'un signal dans Lp sur la classe d'H\"older. Méthode polynomiale par morceaux.

  3) Bornes inférieurs pour les risques minimax.

   - Introduction à la théorie adaptative.

  Évaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

• EDP : aspects numériques

  Michel Mehrenberger, 14h de cours et 6h de TP - Semestre 3, seconde période

  Ce cours sera constitué de deux parties. Dans une première partie on présentera le principe général des méthodes de Galerkin pour la résolution d'EDP elliptiques linéaires, on commencera par introduire formellement les espaces de Sobolev multi-dimensionnels, puis la formulation variationnelle approchée (bien posée) qui se ramène à la résolution d'un système linéaire avec de bonnes propriétés et le lemme de Céa. On verra enfin que la question centrale reste alors celle de l'approximation d'une fonction dans l'espace de dimension fini choisi.
  On étudiera ensuite en détails le cas d'éléments finis P1 1D. On commencera par voir comment l'usage des fonctions de forme permet d'obtenir dans ce cas un système tridiagonal. On établira des estimations d'erreurs dans ce cas (erreur en norme H1 et puis en norme L2 grâce au problème dual). En TP, on implémentera ces éléments finis P1 1D et on tracera les courbes d'erreurs correspondantes (2h environ). On présentera ensuite un ou plusieurs exemples plus complexes (principe vu en cours et implémentation/courbes d'erreurs en TP) : différentes conditions aux bords, cas P2 1D...       

  Dans une seconde partie on s'intéressera à la discrétisation de l'équation de transport 1D. On commencera par l'étude des schémas différences finies centré, décentrés (convergence du schéma décentré amont et non-stabilité au sens de Von Neumann des autres) dans le cas d'une vitesse et d'une condition initiale régulières. On s'intéressera ensuite au cas d'une vitesse constante et d'une donnée initiale $L^\infty$ et on étudiera la convergence du schéma volume fini décentré amont : estimations uniforme et Weak BV, compacité faible * séquentielle , et enfin convergence. 

  Évaluation: Session unique CT 3h; note de l'UE  = 2/3 Examen écrit + 1/3 Mémoire  [examen terminal écrit durant 3h (2/3 de la note) et rendus de TP (1/3 de la note)]

• EDP avancées

  François HAMEL, 14h de cours et 6h de TD - Semestre 3, seconde période

  Ce cours est dans la continuation naturelle de l'UE "EDP - aspects théoriques". Après avoir introduit les espaces de Sobolev en dimension N, on abordera dans un premier temps des EDP elliptiques, pour ensuite traiter le cas des EDP paraboliques, notamment l'équation de la chaleur avec un terme de source, et les équations de réaction-diffusion. Plus précisément :

  Espaces de Sobolev en dimension N. Théorèmes de plongement et de compacité.
  Formulation faible des EDP elliptiques. Existence d'une solution par méthode variationnelle. Principe du maximum. Résultats de régularité intérieure.
  EDP paraboliques: existence d'une solution par méthode de Galerkin. Principe du maximum parabolique. Comportement asymptotique. Équations de réaction-diffusion.

  Évaluation: un oral qui donne la note de l'UE

• Calcul scientifique avancé

  Julien OLIVIER, 14h de cours et 6h de TP, Semestre 3 - seconde période

  Ce cours est centré sur les schémas numériques volumes finis pour les équations en 2 dimensions d'espace : transport et advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Une bonne partie du cours est consacré à la manipulation de maillage ``volumes finis'' et à l'assemblage des matrices des schémas par la structure arête. On étudiera certaines propriétés de ces schémas numériques (stabilité $L^2$ ou $L^\infty$, convergence,  préservation de la positivité,...). Dans ce cours on développera également la démarche de calcul scientifique (cas-tests, courbes d'erreur,...)

  Évaluation : Session unique CT 4h; note de l'UE  = 1/3 TP +2/3 Mémoire [examen terminal sur ordinateur (TP, 1/3 de la note) et rendu de projet (2/3 de la note)]

Autres UE Semestre 3

• Anglais

  Alexandra PLANT, 18h de TD

  Évaluation: CCI, NF = 0.2*CC1+0.4*CC2+0.4*CC3 (contrôle continu intégral)

• PPPE

  Maxime Hauray, 18h de TD

  Évaluation: Session unique CT (1h), NF = 1/2 Mémoire + 1/2 Oral (Oral avec rendu de projet)

Cours proposés à l'école Centrale

• Sélection de cours

  Un cours issu du parcours Climaths de l’École Centrale pourra être choisi comme UE d'ouverture du semestre 4

  (en remplacement d'une des 4 UE du Semestre 4)

  Voir la description des cours

  Les cours suivants pourront être choisis (comptent pour le semestre 2, mais certains cours seront au semestre 1), sous réserve de compatibilité au niveau des emplois du temps :

  • Slot 1 : Analyse et simulation de traffic routier-opinion, T. Goudon
  • Slot 2 : EDP en biologie, G. Chiavassa, J. Liandrat et M. Tournus
  • Slot 3 : Apprentissage statistique, C. Pouet