Aller au contenu principal

Cette formation est proposée conjointement par les universités d'Aix-Marseille et d'Avignon. Sous forme d'un enseignement de haut niveau en mathématiques, elle vise à initier au monde de la recherche afin de former de futurs doctorants en mathématiques. Ce parcours complète donc la formation en mathématiques en vue de conduire l’étudiant vers des études doctorales, tout en préservant les possibilités d’une réorientation vers les métiers de l’enseignement et vers l’entreprise.

Pédagogie

  • OBJECTIFS

    Le Master 2 MF offre un enseignement de haut niveau en mathématiques, visant à initier au monde de la recherche. Ce parcours complète la formation en mathématiques en vue de conduire l'étudiant vers des études doctorales, tout en préservant les possibilités d'une réorientation vers les métiers de l'enseignement et vers l'entreprise.

    Elle est organisée sur Marseille autour d'une spécialité, changeant chaque année, dont les grandes orientations de la recherche actuelle seront présentées aux étudiants. L'objectif est de permettre, au terme de la formation, de comprendre les questions fondamentales de cette spécialité, ainsi que sa position au sein des autres domaines des mathématiques.

    Tout au long de l'année, un séminaire est organisé afin de permettre aux étudiants, non seulement de s'ouvrir à d'autres thématiques plus ou moins proches de la spécialité de l'année en cours, mais aussi de s'initier aux divers aspects de la recherche et au travail en équipe.

  • PRÉREQUIS OBLIGATOIRES

    Les prérequis correspondent aux compétences acquises dans un M1 de mathématiques (ou niveau équivalent : par exemple dans une école d'ingénieur), une maîtrise des notions fondamentales de mathématiques générales (algèbre, analyse, géométrie) sera demandée.

  • PRÉREQUIS RECOMMANDÉS

    Pour chaque année, des pré-requis plus spécifiques pourront être recommandés selon la thématique.

  • SITES D'ENSEIGNEMENT

    • SCIENCES, Télé-enseignement
    • SCIENCES, Marseille St-Charles
  • FORMATION ET RECHERCHE

    Le parcours Mathématiques fondamentales MF est une formation scientifique de haut niveau en mathématiques générales avec une finalité première de formation à la recherche. Elle est portée par une équipe pédagogique dynamique composée de membres de l'Institut de Mathématiques de Marseille (I2M) et du Laboratoire de Mathématiques d'Avignon (LMA). Elle s'appuie donc sur les activités et compétences de ces deux laboratoires.

  • COMPÉTENCES À ACQUÉRIR

    À la fin de leur formation les étudiants auront acquis des concepts de mathématiques théoriques dans une spécialité donnée. Outre une capacité à poursuivre l'étude de ce domaine ou à appliquer ces notions dans d'autres contextes, les étudiants auront plus généralement acquis une capacité d'abstraction leur permettant d'assimiler toute nouvelle théorie, abstraite ou appliquée.

    En parallèle, le séminaire étudiant permettra aux étudiants d'acquérir une capacité d'organisation et de travail en équipe, ainsi que des aptitudes de communication scientifique, en français et en anglais.

  • STAGES ET PROJETS ENCADRÉS

    Les étudiants devront effectuer un stage d'une durée de 8 semaines dans un laboratoire de recherche, un centre de recherche ou une entreprise. Le stage donnera lieu à la rédaction d'un mémoire et à une présentation orale.

  • MODALITÉS PÉDAGOGIQUES PARTICULIÈRES

    En plus des cours magistraux, travaux dirigés et examens, les étudiants suivront des séances de séminaire au cours desquelles ils seront appelés à intervenir afin de s'initier à la recherche.

  • MÉTIERS VISÉS

  • DOMAINES NSF

    • 114B Valeur inconnue
  • LISTE DES ENSEIGNEMENTS

  • INFORMATIONS DIVERSES

    Secrétariat pédagogique :

    • Sandrine Ifrah, courriel : sandrine.ifrah@univ-amu.fr, tél. : 04 91 11 38 65, Campus Etoile, AVE Escadrille Normandie Niemen, 13013 Marseille

Inscription

  • CONDITIONS D'ADMISSION

    L'admission se fait soit via le dispositif e-candidat, soit via Campus France (pour les étudiants résidant dans un pays à dispositif CEF). Le recrutement se fait dans un premier temps sur dossier (à partir de mars), puis, éventuellement, par un entretien individualisé pour les candidatures retenues (avril-juillet).

  • RÉGIMES D'INSCRIPTION

    Ce parcours est accessible en
    • Formation initiale
    • Formation continue
    • Formation à distance
  • 2023-2024 Groupes et géométrie

    • Description

      This master is oriented towards geometry, with a special focus on its interaction with group theory and Lie theory. Since the work of Poincaré, Klein and others, modern geometry hes been intimately related with the notions of manifold and group. For instance, the uniformisation theorem implies that every closed topological surface carries a metric of constant curvature. The isometry group of the universal cover of such a surface is a Lie group, hence the geometry of the surface can be recovered purely from group theory. More recently Gromov and others intriduced the study of countable groups as geometric objects. The broad goal of this course is to introduce and study in some depth these objects and to show how they relate with each others. 

      The first semester is mostly dedicated to understanding the construction of homogeneous spaces and the study of their geometric properties, in particular their curvature. This will be achieved through two courses, one on Riemannian geometry which studies geometry in a broader context, and one on Lie groups and algebras with a more algebraic slant. In parallel there will be a course on geometric group theory. 

      The second semester will be more focused on hyperbolic geometry: we will give constructions of Riemannian manifolds of negative curvature, and conversely study the existence and unicity of such metrics on smooth manifolds.

      Courses

      Riemannian geometry (Enseignants : Adrien Boulanger, Nader Yeganefar)

      Abstract

      The goal of this course is twofold. First, it aims at introducing the first concepts of Riemannian geometry, as metrics, connections and curvature. A special focus will be made on manifold of constant curvature. Secondly, it aims at giving some prerequisite to the other lectures, especially for 'Negatively curved manifolds and lattices in Lie groups' (second semester). This course is also related to 'Mostow's rigidity theorem' (second semester).

      Contents

      • First definitions, examples.
      • Connections and curvature
      • Jacobi field, constant curvature spaces.
      • Curvature -1 metrics on a topological surface.

      References

      • Gallot, Hulin, Lafontaine, 'Riemannian geometry', Springer-Verlag, Universitext, third edition 2004.
      • do Carmo, 'Riemannian geometry', Birkhäuser

      Lie theory (Enseignants: Frédéric Palesi, Jean Raimbault)

      Abstract

      The goal of this course is to give a thorough introduction to the basic notions and results on Lie groups and algebras, with a view towards their application in differential geometry via Riemannian symmetric spaces. After a few words on classical matrix groups, which are the main examples of Lie groups, the course is roughly divided in two halves. The first describes the general setting and gives fundamental results, in particular the Lie algebra--Lie group correspondance. The second gives the basic notions of structure theory of semisimple real Lie groups; the classification will be described but no attempt at proving it will be made. A last section introduces symmetric spaces of non-compact type and their totally geodesic subspaces. 

      Contents

      First part : Lie theory

      • Classical matrix groups (examples)
      • Abstract Lie groups, closed subgroups and homogeneous spaces
      • Lie algebra and Lie correspondence.

      Second part: Structure of semisimple Lie groups

      • Tori, unipotents groups. Unipotent radical, reductive and semisimple groups.
      • Cartan and nilpotent subalgebras, semisimple Lie algebras
      • Decompositions: Iwasawa, Cartan, root subspaces. (If time permits we will give a short introduction to root systems, a description of the classification of complex Lie groups and some remarks about the real case).
      • Symmetric spaces of non-compact type and totally geodesic subspaces.

      References

      • S. Helgason, 'Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces', AMS 2001 (Chapters II--VI).
      • T. Gelander, 'Locally symmetric spaces', lecture notes

      Hyperbolic group theory (Enseignant : Thierry Coulbois)

      Abstract

      This lecture aims at introducing the geometric theory of groups with a special focus on Gromov hyperbolic spaces and groups. A special focus will be made on studying classical examples, with which we will try to illustrate the different combinatorial and geometric tools. The lecture will also try to show to the students a glimps of the current research on the topic. \\
       
       
      Contents

      • Words and free groups
      • Cayley Graphs and word distance
      • Gromov hyperbolic spaces
      • Quasi-isometry
      • Hyperbolic groups

      References

      • Ghys, de la Harpe, 'Sur les Groupes Hyperboliques d’après Mikhael Gromov' Springer-Verlag, Progress in Mathematics, 1990
      • Mark, Margalit, 'Office Hours with a Geometric Group Theorist', Princeton University Press, 2017

      Negatively curved manifolds and lattices in Lie groups (Enseignants : Luisa Paoluzzi, Jean Raimbault)

      Abstract

      This course is a continuation of the first semester courses on Lie theory and Riemannian geometry. It studies in some depth locally symmetric spaces, Riemannian manifolds constructed using Lie theory. The best known example are hyperbolic manifolds, which can be characterised as manifolds having constant negative sectional curvature. The first part gives a short introduction to hyperbolic geometry, mostly independent of the general theory in the first semester courses. It culminates in the construction of compact hyperbolic manifolds using the Poincaré polyhedron theorem. The second part is a short introduction to the general theory of lattices in semisimple Lie groups and locally symmetric spaces. We concentrate on two results. First we prove the existence of Zassenhaus neighbourhoods and explain its geometric applications such as the thick/thin decomposition. Then we introduce lattices in Lie groups, finishing with the arithmetic construction in arbitrary semisimple groups.

      Contents

      First part: hyperbolic manifolds

      • Models of hyperbolic space and its subspaces 
      • Classification of isometries (loxodromic, parabolic, elliptic)
      • Trigonometry, polyhedra, construction of polyhedra in low dimensions
      • Poincaré polyhedron theorem and applications to the construction of hyperbolic manifolds.

      Second part: lattices in semisimple Lie groups

      • Correspondence between locally symmetric spaces and discrete subgroups
      • Zassenhaus neighbourhoods and geometric applications
      • Lattices in semisimple Lie groups, unipotent elements and cocompactness, arithmetic construction (time permitting we will prove the co-compact case of the Borel--Harish-Chandra theorem).

      References

      •  Ratcliffe, 'Foundations of hyperbolic manifolds', Springer 2006
      • Raghunathan, 'Discrete subgroups of Lie groups', Springer 1972
      • Gelander, 'Locally symmetric spaces', lecture notes

      Mostow rigidity

      Abstract

      These lectures will focus on a very specific feature of hyperbolic geometry in high dimension named ``Mostow rigidity'' after G.D. Mostow : 'a closed manifold of constant negative curvature and dimension at least three is determined by its fundamental group up to isometries'. The proof that will be presented will rely on the dynamics of the fundamental group acting on the sphere at infinity of hyperbolic space and on quasiconformal geometry.

      Contents

      •  Sketch of the proof
      • Convergence actions
      • Boundary maps
      • Quasi-Moebius maps
      • Invariant line fields

      References

      •  Mostow, 'Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms', Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 34 (1968).
      • Margulis, 'The isometry of closed manifolds of constant negative curvature with the same fundamental group', Soviet Math. Dokl. 11 (1970).
      • Dennis Sullivan, 'Discrete conformal groups and measurable dynamics', Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6 (1982).
  • 2022-2023 Topologie, Géométrie et Théorie des singularités

  • 2021-2022 Représentation des groupes et programme de Langlands

    • Master class

      Du 7-11 juin 2021 à la FRUMAM salle de conférence étage 2

      Groupes de Galois, anneaux de Dedekind, valuations et places, adèles, théorème de Kronecker-Weber (Ch. PITTET) :

      • Du lundi 7 juin au jeudi 10 juin, 9h30-10h30, 10h45-11h45.
      • Cours pour M1, accessible aux M2 et doctorants intéressés

      Représentations de groupes finis, fonction zeta de Riemann, fonctions L de Dirichlet de Dedekind et d'Artin, théorème d'Artin et de Brauer (B. LEMAIRE) :

      • Du lundi 7 juin au jeudi 10 juin, 13h45-14h45, 15h-16h.
      • Cours pour M1, accessible aux M2 et doctorants intéressés

      Journée Langlands :

      • 11 juin
      • Exposés de G. HENNIART, R. BEUZART-PLESSIS ou V. HEIERMANN, A. I. BADULESCU, P.-H. CHAUDOUARD
    • Cours intensifs

      Du 13-24 septembre 2021 à la FRUMAM salle de conférence étage 2

      Préparation p-adique (J.-Y. BRIEND) :

      • Nombres p-adiques, groupes localement compacts, mesures de Haar, espaces totalement discontinus, dualité de Pontryagin, partie locale de la thèse de Tate, partie l-espaces de Bernstein-Zelevinsky.
      • Les mardis 14 et 21 septembre : 9h00-12h00, les vendredis 17 et 24 septembre : 8h00-11h00. 

      Introduction aux représentations des groupes (Ch. PITTET) :

      • Représentation des groupes finis: induction, restriction, réciprocité de Frobenius, algèbre de groupes, théorie de Mackey, groupe de Grothendieck.
      • Les lundis 13 et 20 septembre : 9h30-10h30, 10h45-11h45, 13h45-14h45, 15h00-15h45, les vendredis 17 et 24 septembre : 13h30-14h30, 14h45-15h45.

      Introduction à la géométrie algébrique (M. PUSCHNIGG) :

      • Espaces affines, topologie de Zariski, théorème des zéros de Hilbert, variétés affines, équivalences de catégories et k-algèbres, tores, espace projectifs, action du groupe de Galois et rationalité.
      • Les lundis 13 et 20 septembre : 16h00-16h45, 17h00-17h45, les mardis 14 et 21 septembre : 16h00-16h45, 17h00-17h45, les vendredis 17 et 24 septembre : 16h00-16h45, 17h00-17h45.
    • Séminaires étudiants

      Dès octobre à la FRUMAM salle de conférence étage 2

      L-groupe et  fonctorialité de Langlands, applications du programme de Langlands, compléments de cours, formes modulaires, etc :

      • Organisé par V. HEIERMANN et Ch. PITTET, encadré par les membres de l'équipe pédagogique.
      • Les vendredis, 16h-18h30 (11 x 2 h sur les deux semestres).
    • Premier semestre

      Dès le 27 septembre 2021 à la FRUMAM salle de conférence étage 3, sauf pour les cours d'anglais.

      Théorie des nombres (J.-Y. BRIEND, S. DRAPPEAU) :

      • Corps locaux et globaux (essentiellement caractéristique 0), groupes de Galois absolu, anneaux de Dedekind, décompositions d'idéaux premiers, ramification, conducteur, adèles et idèles, théorie du corps de classes, loi de réciprocité d'Artin, fonctions L de Hecke et d'Artin, thèse de Tate sur l'équation fonctionnelle des fonctions L de Hecke, théorème de densité de Chebotarev.
      • Les mardis 9h30-10h30, 10h45-11h45.

      Représentation des groupes réels et p-adiques (Ch. PITTET) :

      • Représentations lisses et admissibles, induction parabolique, foncteur de Jacquet, représentation cuspidale, caractères non-ramifiés, représentations tempérées et de carré intégrable avec critères de Casselman, classification de Langlands, Peter-Weyl, le dual de SU(n), le dual unitaire de GL(2,k).
      • Les lundis 9h30-10h30, 10h45-11h45.

      Groupes linéaires algébriques (M. PUSCHNIGG) :

      • Notions de groupes linéaires algébriques (essentiellement caractéristique 0), orbites, groupes diagonalisables, groupes résolubles, groupes semi-simples et réductifs, tores maximaux, sous-groupes de Borel, sous-groupes paraboliques et facteurs de Levi, systèmes de racines et classification, k-formes, domaine de Siegel et théorie de réduction/densité
      • Les lundis 16h-17h, 17h15-18h15.

      Anglais (S. GREMAUD) :

      • TOEIC
      • Les mardis 28 septembre  (St.-Charles LSH-407), 5 et 19 octobre  (St.-Charles LSH-408), 2 et 9 et 16 et 23 et 30 novembre, 7 décembre, 16h-18h à Saint-Charles (St.-Charles LSH-202).
    • Deuxième semestre

      Cours et Diplômes de M2 :

      Introduction à la formule des traces et correspondance de Jacquet-Langlands (R. BEUZART-PLESSIS) :

      Algèbres centrales simples sur les corps locaux et globaux, notion de formes intérieures, formule des traces simple, intégrales orbitales, comparaison et transfert, outils d'analyse harmonique (centre de Bernstein non-ramifié et multiplicateurs), preuve de la correspondance de Jacquet-Langlands.

      Représentations automorphes (V. HEIERMANN) :

      Notions de formes automorphes, représentations automorphes, représentations cuspidales, opérateurs d'entrelacement, séries d'Eisenstein, modèle de Whittaker, fonctions L, représentations automorphes et de carré intégrable, méthode de Langlands-Shahidi.

  • 2020 -2021 Systèmes dynamiques et applications

    • Master class

      Entre le 30 mars et le 03 avril 2020, nous organisons une semaine d'exposés, niveau M1, afin de présenter les thèmes de recherche liés au Master 2 de dynamique 2020-2021.

      Cette semaine sera articulée autour de 3 cours:

      • Fractal de Rauzy: Valérie Berthé, LIRIF.
      • Espaces de Teichmuller: Elise Goujard, Université Bordeaux.
      • Dynamique holomorphe: Dierk Schleicher, Université Aix Marseille. 
      • Tps en Sage: Paul Mercat, Université Aix Marseille. .
    • Cours intensifs

      Le programme de l'année est composé de 2 semaines de cours intensifs constitués des 3 cours de 10h chacun :

      • Combinatoire des mots. Anna Frid.
      • Base de théorie ergodique. Serge Troubetzkoy
      • Géométrie hyperbolique. Frédéric Palesi.

      Un premier semestre composé des cours suivants de 20h chacun :

      • Dynamique symbolique. Nicolas Bédaride
      • Groupes et dynamique. Thierry Coulbois, Arnaud Hilion.
      • Systèmes hamiltoniens. Andréa Venturelli, Philippe Bolle.

      Un deuxième semestre composé des trois cours de 25h chacun et d'un mémoire :

      • Échanges d'intervalles et espace de Teichmüller. Pierre Arnoux et Pascal Hubert.
      • Groupes et dynamique. Peter Haissinsky.
      • Dynamique holomorphe. Dierk Schleicher.
      • Mémoire de master : Encadré par un enseignant-chercheur ou un chercheur, chaque étudiant effectuera un travail de recherche autour d'un thème de la spécialité du master. Ce travail donnera lieu à la rédaction d'un mémoire écrit, ainsi qu'à une présentation orale.

      A ceci s'ajoutent :

      • Des cours d'anglais qui auront lieu au second étage du bâtiment des langues du campus St Jérôme (salle et dates à déterminer ultérieurement).
      • Un séminaire étudiant : à partir du mois de septembre chaque semaine un étudiant du Master 2 ou un membre du laboratoire fera un exposé sur un sujet lié aux thèmes des cours. Une page spéciale, voir menu à droite, donne la liste des exposés et le planning.
    • Student seminar

      Student seminar organised by Nicolas Bédaride and Lionel Nguyen Van Thé: Friday morning at 09h am, Frumam.

      List of subjects linked to the courses of the M2 :

      • Perron Frobenius theorem N. Bédaride: 0ctober 02th. Jean Jacques Brahim
      • Free group and SL_n(Z): Th. Coulbois, A. Hilion: October 16th: Nicolas Bitar.
      • Banach Tarski paradox: L. Nguyen Van Thé. October 23th. Nikolai Prochorov.
      • Continued fractions and modular surface: F. Palesi. November 06th. Rahul Dutta
      • Sturmian sequences. A. Frid. November 13th. Iryna Feysenko.
      • Amenability of groups: L. Nguyen Van Thé. November 20th Océane Borel.
      • Hamiltonian dynamics (one of the 3 subjects): Ph. Bolle+A. Venturelli. November 27th. Abdallah Kabalan.
      • Braid groups. Th. Coulbois. December 04th: Ulysse Remfort.

      Second semester :

      • Complexity of sturmian words.  February 12th. Océane Borel.
      • Sturmian words, artcile Arnoux-Ferenczi-Hubert February 19th, Ulysse Remfort.
      • Convergence groups. February 19th. Nicolas Bitar
      • Iterated Monodromy Groups for polynomial and transcendental mappings. February 26th. Nikolai Prochorov
      • Playing pool with pi February 26th Iryna Fesenko
      • Absence of mixing for interval translation mapping. March 12th Rahul Dutta

Responsables du parcours