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  • Département Mathématiques
  • Formation initiale - Formation continue
  • Marseille Saint-Charles, Marseille Luminy, Marseille Château-Gombert

Une formation de premier plan en mathématiques, portée par l'un des grands laboratoires de mathématiques français, fortement engagée dans la recherche tant fondamentale qu'appliquée et offrant de nombreux débouchés vers les métiers de l’enseignement, de la recherche ou de l'ingéniérie.

Pédagogie

  • OBJECTIFS

    Le master Mathématiques et Applications a l'ambition de proposer une formation de très haut niveau en formant à la compréhension, l'utilisation, la communication et la recherche en mathématiques, tant fondamentales qu'appliquées. La formation s'appuie sur l'excellence et la diversité des enseignants-chercheurs appartenant principalement à l'Institut de Mathématiques de Marseille (I2M) rattaché à l’université d’Aix-Marseille (AMU), au CNRS et à l'École Centrale de Marseille et à d'autres laboratoires de l'université, notamment d'informatique. Sa palette de parcours offre des possibilités de carrière dans un large éventail de secteurs où les mathématiques sont présentes : enseignement secondaire (agrégation), enseignement supérieur et recherche académique, métiers de l'ingénierie de pointe en mathématique dans les principaux secteurs du privé (informatique, énergie, transport, télécommunications, banques, assurances, santé, etc…).

  • PUBLIC VISÉ

    Étudiants désireux d’apprendre les mathématiques en vue d’une carrière soit dans la recherche fondamentale ou appliquée, soit dans l’enseignement soit comme ingénieur dans le secteur productif.

  • STRUCTURE ET ORGANISATION

    La première année (M1) est un tronc commun ; en dehors des connaissances de base en mathématiques il inclut aussi la construction du projet professionnel de l’étudiant, l’apprentissage de l’anglais et une intitiation à la recherche (Travail d’Étude et de Recherche). La 2ème année (M2) est divisée en 5 parcours :

    • préparation à l’agrégation de mathématiques ;
    • mathématiques fondamentales (parcours thématique changeant chaque année) ;
    • informatique et mathématiques discrètes (parcours commun avec le master d’informatique) ;
    • mathématiques appliquées, calcul scientifique, équations aux dérivées partielles, probabilités, statistiques ;
    • didactique des mathématiques

    auxquels s’ajoutent deux parcours transverses à toutes les mentions de master : Compétences Complémentaires en Informatique (CCI) et Computational and Mathematical Biology (CMB).

  • CONNAISSANCES À ACQUÉRIR

    Connaissance des grandes théories fondamentales des mathématiques, en algèbre, en analyse, en topologie, en géométrie, en mathématiques discrètes, en probabilités, en logique, et de leurs différents domaines d’application en mathématique et dans d’autres disciplines : calcul scientifique, statistiques, informatique fondamentale et algorithmique… L’année de M2 permet soit d’approfondir ces connaissances dans l’un des domaines évoqués, soit de préparer les concours de l’enseignement.

  • COMPÉTENCES À ACQUÉRIR

    • Comprendre, utiliser et faire évoluer sa connaissance des concepts fondamentaux et des méthodes des mathématiques à travers la formalisation et la résolution de problèmes issus des mathématiques ou d'autres disciplines.
    • Développer l'esprit d'analyse et d'initiative afin de modéliser mathématiquement un problème scientifique en utilisant un corpus scientifique adapté et en faisant le lien entre différents domaines des mathématiques.
    • Rédiger un texte mathématique, préparer et effectuer un exposé oral en français et en anglais et maîtriser l'utilisation d'outils informatiques (traitements de texte scientifiques, diaporamas).
    • Travailler au sein d'un groupe de recherche et y établir un dialogue constructif.
    • Investir, communiquer et partager ses compétences disciplinaires et appliquer ses connaissances dans le cadre d'un laboratoire de recherche universitaire ou appliqué dans un service de recherche et développement.
  • STAGES ET PROJETS ENCADRÉS

    Les parcours du master comportent tous :

    • un projet tutoré en M1 (Travail d’Étude et de Recherche) ;
    • un stage recherche en M2 dans un laboratoire (qui peut dans certaines filières s’effectuer en entreprise) ;
    • les 3 premiers semestres une UE Communication scientifique au cours de laquelle les étudiants sont invités à se familiariser avec la vulgarisation scientifique en découvrant ou exposant un domaine mathématique connexe à leur cursus.
  • DÉBOUCHÉS PROFESSIONNELS

    • enseignement en mathématiques ;
    • recherche en mathématique fondamentale ou appliquée ;
    • ingénierie (statistique, calcul scientifique, modélisation, cryptographie, informatique, santé,…) ;
    • didactique mathématique.

    Les secteurs d'insertion sont l'enseignement (secondaire et académique), la recherche et le développement (Universités, CNRS, INRIA, CEA, INRA,…), les industries des nouvelles technologies (informatique, réseaux, télécommunications, énergie, biotechnologies), les industries de services (santé, banques, assurances,…).

  • POURSUITES D'ÉTUDES

    Doctorat en mathématiques.

  • PARTENARIATS

    Le master mathématiques et applications est cohabilité avec l’Université d’Avignon et des pays du Vaucluse (UAPV). Il est également, notamment dans sa partie maths appliquées, cohabilité avec l’École Centrale de Marseille (ECM). Enfin il est adossé à de nombreux laboratoires de mathématiques et d’informatique fondamentale de la région, à commencer par l’Institut de Mathématiques de Marseille (I2M) qui fournit le gros de l’équipe pédagogique et est également le principal centre d’accueil pour les stages recherches.

    Signalons également le partenariat avec le Centre International de Rencontres Mathématiques (CIRM) qui fournit notamment un accès à sa très belle bibliothèque aux étudiants de M2 ainsi qu’avec l’Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (IREM) de Marseille qui recrute notamment des étudiants pour encadrer des élèves du secondaire dans le cadre de son programme Hippocampe.

  • ÉTUDES À L'ÉTRANGER

    Le master entretient plusieurs collaborations internationales, notamment dans le cadre d’échange Erasmus. Il existe également un programme de double diplôme avec l’université Roma Tre au niveau du M2 (parcours IMD pour l’instant).

Parcours de la mention

Champ 1

Parcours Préparation à l'agrégation de mathématiques

https://formations.univ-amu.fr/fr/master/5SMA/PRSMA5AA
Champ 1

Parcours Didactique des mathématiques

https://formations.univ-amu.fr/fr/master/5SMA/PRSMA5AB
Champ 1

Parcours Mathématiques fondamentales

https://formations.univ-amu.fr/fr/master/5SMA/PRSMA5AC
Champ 1

Parcours Mathématiques appliquées, calcul scientifique, équations aux dérivées partielles, probabilités, statistiques (CEPS)

https://formations.univ-amu.fr/fr/master/5SMA/PRSMA5AD
Champ 1

Parcours Informatique et mathématiques discrètes (IMD)

https://formations.univ-amu.fr/fr/master/5SMA/PRSMA5AE
Champ 1

Parcours Computational and mathematical biology (CMB)

https://formations.univ-amu.fr/fr/master/5SMA/PRSMS5AD
Champ 1

Parcours Compétences complémentaires en informatique

https://formations.univ-amu.fr/fr/master/5SMA/PRSTS5AD
  • M1 Chateau-Gombert

    Organisation Château-Gombert

    IMPORTANT : Si ça n'est pas déjà fait, n'oubliez pas d'effectuer votre IA (inscription administrative); sans elle, vous ne pourrez pas être considéré comme étudiant d'AMU ! Le service adminsitratif pour le faire réouvrira le 23 août 2021.

    Prérequis pour le S1

    Afin de vous permettre de réviser ou de vous remettre à jour durant l'été, voici quelques éléments de pré-requis fournis par les enseignants des trois UE de mathématiques du S1:

    • Algèbre et Géométrie : polycopié téléchargeable plus bas
    • Analyse fonctionnelle et Analyse de Fourier : éléments de bibliographie téléchargeable plus bas
    • Mesure, Intégration et Probabilités : guide de révision téléchargeable plus bas

    Rentrée

    • Jeudi 2 septembre 2021 à 14h : réunion de rentrée en salle 4 du CMI, sur le campus de Château-Gombert (salle susceptible de changer)

    ATTENTION : contrairement à ce qui peut être indiqué dans l'ENT, la réunion de rentrée aura bien lieu à 14h, et non à 10h !

    • Vendredi 3 septembre 2021 après-midi : journée d'accueil des étudiants de M1 à la Frumam, sut le campus Saint Charles (plus d'informations à venir)
    • Lundi 6 septembre 2021 : début des cours

    Emplois étudiants

    L'université recherche des étudiants pour faire du tutorat en L2.

    Cours

    L'emploi du temps se trouve sur l'ENT.

    Semestre 1

    A l'exception de l'anglais, les cours du premier semestre se dérouleront tous au CMI, sur le campus de Château-Gombert:

    • Algèbre et Géométrie (8 ECTS) : D. Moussard, B. Audoux
    • Analyse fonctionnelle et Analyse de Fourier (8 ECTS) : F. Hamel, S. Monniaux, L. Letreust
    • Mesure, Intégration et Probabilités (8 ECTS) : E. Hillion, M. Talet, N. Demni
    • Informatique (2 ECTS) : C. Gomez
    • Communication scientifique, Anglais (2 ECTS) : L. Ouvrier (sur le campus St Jérôme)

    Semestre 2

    Les cours optionnels du second semestre auront lieu à St-Charles :

    • Algèbre et Arithmétique (6 ECTS) : D. Ara, V. Heiermann
    • Analyse complexe (6 ECTS) : N. Demni, S. Timhadjelt
    • Logique et Calculabilité (6 ECTS) : L. Régnier, L. Vaux
    • Processus stochastiques (6 ECTS) : S. Mueller
    • Géométrie différentielle et Topologie (6 ECTS) : B. Audoux, A. Pichon
    • EDP et Analyse numérique (6 ECTS) : P. Angot

    Les cours obligatoires auront lieu au CMI, sur la campus de Château-Gombert :

    • Informatique (2 ECTS) : L. Santocanale
    • Communication scientifique, Anglais (2 ECTS) : J-Y. Briend

    Il y aura enfin un Travail d'Étude et de Recherche (6 ECTS) à effectuer sous la supervision d'un encadrant.

    Vacances

    • Automne : du 25 au 30 octobre 2021
    • Fin d'année : du 20 décembre 2021 au 8 janvier 2022
    • Hiver : du 14 au 19 février 2022
    • Printemps : du 11 au 16 avril 2022

    Contacts

    Secrétariat pédagogique : Sandrine IFRAH  ☎ +33 4 91 28 82 77 (en congé jusqu'au 29 août inclus)
    Responsable : Benjamin AUDOUX

    Fichier: 

    PDF icon algebre_et_geometrie_prerequis.pdf

    PDF icon analyse_fonctionnelle_et_de_fourier_prerequis.pdf

    PDF icon mesure_integration_et_probabilites_prerequis.pdf

  • M1 Luminy

    Organisation Luminy

    Bienvenue sur le campus de Luminy !

    Contacts

    Secrétariat pédagogique : Sonia Kerbache  ☎ +33 4 13 94 19 99

    Responsable : Dimitri Ara

    Rentrée

    Jeudi 2 septembre 2021 à 10h : réunion de rentrée en salle E.02.05 du bâtiment TPR1 à Luminy

    Vendredi 3 septembre 2021 à 13h30 : après-midi de rentrée commune aux sites de Château-Gombert et de Luminy à Saint-Charles, dans la grande salle de séminaire du second étage de la Frumam.

    Emplois étudiants

    L'université recherche des étudiants pour faire du tutorat en L2.

    Cours

    L'emploi du temps se trouve sur l'ENT.

    Semestre 1

    Les cours du premier semestre se déroulent tous à Luminy.

    • Algèbre et géométrie (8 ECTS) : M. Puschnigg, S. Ballet
    • Analyse fonctionnelle et analyse de Fourier (8 ECTS) : A. Boritchev, T. Gallouet
    • Mesure, intégration, probabilités (8 ECTS) : B. Saussol
    • Informatique (2 ECTS) : A. Muranov
    • Communication scientifique, anglais (2 ECTS) : D. Kohel

    Semestre 2

    Les cours optionnels du second semestre auront lieu à St-Charles :

    • Algèbre et arithmétique (6 ECTS) : D. Ara, V. Heiermann
    • Analyse complexe (6 ECTS) : N. Demni, S. Timhadjelt
    • Logique et calculabilité (6 ECTS) : L. Régnier, L. Vaux
    • Processus stochastiques (6 ECTS) : S. Mueller
    • Géométrie différentielle et Topologie (6 ECTS) : B. Audoux, A. Pichon
    • EDP et analyse numérique (6 ECTS) : P. Angot
    • Travail d'Étude et de Recherche (6 ECTS)

    Les cours obligatoires auront lieu à Luminy sur une journée :

    • Anglais (2 ECTS) : A. Coady
    • Informatique (2 ECTS) : A. Muranov
    • Communication scientifique, anglais (2 ECTS) : D. Kohel

     

  • M2 Préparation à l'agrégation

    M2 - Préparation à l'agrégation de mathématiques

     Dernières informations importantes

    • RENTRÉE : Mercredi 2 septembre 2021 à 10h en salle 101 du CMI

    • INSCRIPTION AU CONCOURS: dates non encore connues

    • INSCRIPTIONS À LA PRÉPARATION: e-candidat et envoyez-nous un courriel.

     

     

     Venir préparer l'agregation de Mathématiques à Marseille

     

    Inscription administrative à la préparation

    • Pour le M2 EFM/AGREG (pour tous les non-redoublants quelque soit votre origine): Les inscriptions se déroulent en ligne sur le site : http://sciences.univ-amu.fr/dispositif-e-candidat
      Si vous n'étiez pas étudiant en 2020-2021 (AMU ou hors AMU) vous relevez probablement de la formation continue. Contactez virginie.marty@univ-amu.fr .
    • Pour la préparation au concours hors-MASTER (réservée aux doublants) : Le dossier de pré-inscription est à remplir et à renvoyer avec les pièces justificatives au secrétariat pédagogique: Sandrine IFRAH.

    Fonctionnement de la prépa

    • Un document complet expliquant le fonctionnement de la prépa se trouve ici.
    • Les révisions sont organisées en 22 thèmes (11 en analyse et 11 en algèbre) chaque thème étant étalé sur deux ou trois semaines et comprenant la préparation de leçons.

    Informations sur le concours

    Pour toute information détaillée sur le concours, la référence : http://agreg.org

    Session 2022

    L'inscriptions aux concours de la session 2021-2022 seront ouvertes du date non encore connue.

    Les écrits auront lieu les dates non encore connues.

    Source

    Informations générales

    Le concours comporte deux épreuves d'admissibilité écrites et trois épreuves orales d'admission. Les épreuves orales sont de deux types:

    •  L'épreuve de leçon: à l'issue de 3h de préparation, le candidat présente un plan de cours de maximum 3 pages qu'il défend (6mn)puis effectue une démonstration (15mn) et enfin l'oral est suivi d'une discussion avec le jury (29mn). Les sujets possibles pour les leçons sont connus à l'avance.
    • L'épreuve de modélisation: à l'issue de 4h de préparation le candidat fait un exposé de 35mn en s'appuyant sur un texte d'environ 5 pages.Puis s'ensuit une discussion avec le jury pendant 15mn. Cette épreuve est très particulière pour plusieurs raisons:
      • Le texte comporte des aspects de modélisation c'est-à-dire de mise en forme mathématique de problèmes qui ne sont pas nécessairement directement issus des mathématiques
      • La présentation doit comporter des illustrations informatiques qui doivent être conçues durant la préparation et expliquées au jury
      • Il y a trois options disponibles à choisir en début d'année lors de l'inscription. Une fois ce choix effectué en début d'année il sera impossible de présenter une autre option le jour du concours. Notez qu'il existe une quatrième option autour de l'informatique fondamentale que nous ne préparons pas à Marseille à l'heure actuelle.
        • Option A : Probabilités et statistique (loi des grands nombre/théorème centrale limite, chaînes de Markov...)
        • Option B : Calcul scientifique (algèbre linéaire matricielle, optimisation, EDO...)
        • Option C : Calcul formel (calculs effectifs d'objets algébriques, corps finis...)
      • Vous pourrez trouver ici un document émanant du jury et donnant quelques indications sur le déroulement de l'épreuve (attention celui-ci date de 2015 donc il faut également tenir compte des ajustements qui ont eu lieu depuis)

     

  • M2 Mathématiques fondamentales 2021-2022: Représentation des groupes et programme de Langlands

    Représentation des groupes et programme de Langlands.

    MASTER CLASS 7-11 juin 2021 à la FRUMAM salle de conférence étage 2

    Du lundi 7 juin au jeudi 10 juin, 9h30-10h30, 10h45-11h45. Groupes de Galois, anneaux de Dedekind, valuations et places, adèles, théorème de Kronecker-Weber (Ch. PITTET)
    Cours pour M1, accessible aux M2 et doctorants intéressés

    Du lundi 7 juin au jeudi 10 juin, 13h45-14h45, 15h-16h. Représentations de groupes finis, fonction zeta de Riemann, fonctions L de Dirichlet de Dedekind et d'Artin, théorème d'Artin et de Brauer (B. LEMAIRE)
    Cours pour M1, accessible aux M2 et doctorants intéressés

    Journée Langlands 11 juin à la FRUMAM salle de conférence étage 2
    Exposés de G. HENNIART, R. BEUZART-PLESSIS ou V. HEIERMANN, A. I. BADULESCU, P.-H. CHAUDOUARD

    COURS INTENSIFS  13-24 septembre 2021 à la FRUMAM salle de conférence étage 2

    Préparation p-adique (J.-Y. BRIEND). Nombres p-adiques, groupes localement compacts, mesures de Haar, espaces totalement discontinus, dualité de Pontryagin, partie locale de la thèse de Tate, partie l-espaces de Bernstein-Zelevinsky,

    les mardis 14 et 21 septembre : 9h00-12h00, les vendredis 17 et 24 septembre : 8h00-11h00. 

    Introduction aux représentations des groupes (Ch. PITTET). Représentation des groupes finis: induction, restriction, réciprocité de Frobenius, algèbre de groupes, théorie de Mackey, groupe de Grothendieck,

    les lundis 13 et 20 septembre : 9h30-10h30, 10h45-11h45, 13h45-14h45, 15h00-15h45, les vendredis 17 et 24 septembre : 13h30-14h30, 14h45-15h45.

    Introduction à la géométrie algébrique (M. PUSCHNIGG). Espaces affines, topologie de Zariski, théorème des zéros de Hilbert, variétés affines, équivalences de catégories et k-algèbres, tores, espace projectifs, action du groupe de Galois et rationnalité,

    les lundis 13 et 20 septembre : 16h00-16h45, 17h00-17h45, les mardis 14 et 21 septembre : 16h00-16h45, 17h00-17h45, les vendredis 17 et 24 septembre : 16h00-16h45, 17h00-17h45.
     

    SEMINAIRE ETUDIANTS dès octobre à la FRUMAM salle de conférence étage 2

    Organisé par V. HEIERMANN et Ch. PITTET, encadré par les membres de l'équipe pédagogique.
    L-groupe et  fonctorialité de Langlands, applications du programme de Langlands, compléments de cours, formes modulaires, etc.

    les vendredis, 16h-18h30.

    (11 x 2 h sur les deux semestres).

    PREMIER SEMESTRE dès le 27 septembre 2021 à la FRUMAM salle de conférence étage 3, sauf pour les cours d'anglais.

    Théorie des nombres (J.-Y. BRIEND, S. DRAPPEAU). Corps locaux et globaux (essentiellement caractéristique 0), groupes de Galois absolu, anneaux de Dedekind, décompositions d'idéaux premiers, ramification, conducteur, adèles et idèles, théorie du corps de classes, loi de réciprocité d'Artin, fonctions L de Hecke et d'Artin, thèse de Tate sur l'équation fonctionnelle des fonctions L de Hecke, théorème de densité de Chebotarev,

    les mardis 9h30-10h30, 10h45-11h45.

    Représentation des groupes réels et p-adiques (Ch. PITTET). Représentations lisses et admissibles, induction parabolique, foncteur de Jacquet, représentation cuspidale, caractères non-ramifiés, représentations tempérées et de carré intégrable avec critères de Casselman, classification de Langlands, Peter-Weyl, le dual de SU(n), le dual unitaire de GL(2,k),

    les lundis 9h30-10h30, 10h45-11h45.

    Groupes linéaires algébriques (M. PUSCHNIGG). Notions de groupes linéaires algébriques (essentiellement caractéristique 0), orbites, groupes diagonalisables, groupes résolubles, groupes semi-simples et réductifs, tores maximaux, sous-groupes de Borel, sous-groupes paraboliques et facteurs de Levi, systèmes de racines et classification, k-formes, domaine de Siegel et théorie de réduction/densité,

    les lundis 16h-17h, 17h15-18h15.

    Anglais (S. GREMAUD). TOEIC,

    les mardis 28 septembre  (St.-Charles LSH-407), 5 et 19 octobre  (St.-Charles LSH-408), 2 et 9 et 16 et 23 et 30 novembre, 7 décembre, 16h-18h à Saint-Charles (St.-Charles LSH-202).

    DEUXIEME SEMESTRE (Cours et Diplômes de M2)

    Introduction à la formule des traces et correspondance de Jacquet-Langlands (R. BEUZART-PLESSIS)
    Algèbres centrales simples sur les corps locaux et globaux, notion de formes intérieures, formule des traces simple, intégrales orbitales, comparaison et transfert, outils d'analyse harmonique (centre de Bernstein non-ramifié et multiplicateurs), preuve de la correspondance de Jacquet-Langlands.

    Représentations automorphes (V. HEIERMANN)
    Notions de formes automorphes, représentations automorphes, représentations cuspidales, opérateurs d'entrelacement, séries d'Eisenstein, modèle de Whittaker, fonctions L, représentations automorphes et de carré intégrable, méthode de Langlands-Shahidi.

    Responsables : Volker Heiermann, Christophe Pittet

     

    •  
  • M2 CEPS

    Les cours spécialisés pour l'année 2021-2022 auront une  thématique autour des mathématiques et de l'écologie.

    Pas d'affiche cette année; pour voir des belles affiches, regarder les années précédentes!

    Cours du Semestre 2 (cours spécialisés)

     

    Equations de réaction-diffusion et invasions biologiques, François Hamel, 18h de cours; examen écrit à la fin du cours.

    Des phénomènes observes dans des contextes tres variés sont modelisés par des propagations d'ondes ou de fronts progressifs : invasions d'especes biologiques, propagations d'epidémies, propagations d'influx nerveux dans les neurones, etc.

    Ce cours développera des méthodes mathématiques pour analyser la propagation des fronts. Les propriétés fondamentales des équations elliptiques et paraboliques linéaires et non linéaires seront d'abord introduites.

    On se propose ensuite d'étudier l'existence de solutions de type fronts progressifs pour des équations de réaction-diffusion non linéaires, et d'en déterminer leur vitesse et leur stabilité pour les problèmes de Cauchy.

    On étudiera également les conditions de persistance ou d'extinction en temps long des solutions des problèmes de Cauchy. Différents cadres de modélisation faisant intervenir des fronts progressifs seront presentés.

    • 1. Introduction. Propagation d'ondes dans les milieux excitables, equations de reaction-diffusion, fronts plans.
    • 2. Rappels de resultats sur des equations elliptiques et paraboliques. Existence et estimations a priori, principes du maximum et principes de comparaison, valeur propre principale d'un operateur elliptique.
    • 3. Ondes progressives planes. Existence de fronts, monotonie, unicite ou non des vitesses, formules pour les vitesses uniques ou minimales de fronts plans
    • 4. Dynamique des fronts. Stabilite d'ondes progressives planes, vitesse asymptotique de propagation.
    • 5. Fronts courbes, fronts coniques, fronts de vitesses variables. Interaction de fronts plans, solutions globales d'equations paraboliques du type KPP.
    • 6. Vitesse de propagation. Formule spectrale, influence de la geometrie, de la reaction, de la di usion et du transport, propagation dans des ecoulements rapides.
    • 7. Dynamique des populations en environnement fragmente. Invasions biologiques dans des milieux heterogenes, conditions pour la conservation ou l'extinction d'espèces.

     Scientific computing and statistical methods in ecology: applications to cloud turbulence and simulation of insect flight, Kai Schneider, NF = 2/3 contrôle continu + 1/3 Oral

    (27h ETD = 14h cours + 6h TP/TD, mini-projects)

    Language: English, with discussion sessions in French

    This lecture shows by means of two concrete examples, turbulence in clouds
    and related rain formation caused by the clustering of droplets, as well
    as the numerical simulation of insect flight, the application of modern
    methods of scientific computing, modelling by partial differential
    equations and methods of probability theory and statistics. The lecture
    presents basic concepts of random point particles (Poisson distribution)
    in turbulence, Voronoi tesselation for analysis, Monte-Carlo simulations,
    as well as PDE-based flow simulations, including fluid-structure
    interaction and basics of turbulence modeling with reference to current
    research projects. Lectures are completed by mini-projects chosen by the
    students, which deal with some fundamentals on flow simulation,
    Monte-Carlo methods and statistical estimation. They are graded (report
    and oral presentation) and contain programming tasks in python or similar.

    Possible projects:

    - project 1: generation of random particle fields and statistical
       estimation of the particle number density and spectra in 2d.
    - project 2: transport of random particles (with and without inertia by
       given 2d velocity fields, which are either divergence or curl
       free). ODE solver for particle velocity. Analysis of clusters and void
       regions.
    - project 3: numerical solution of the heat equation with a moving wall
       (simplified Stefan problem in 1d)

    Keywords: Navier-Stokes equations, Stokes drag, Monte-Carlo, spectral
    methods for PDEs, immersed boundary methods, histograms, power spectra,
    clustering and void formation. Divergence and curl of flow fields,
    transport of particles, ODE solvers, interpolation.

    Prerequisites:
    - basics in PDEs (heat equation, transport equation, boundary conditions);
    - basics in numerics (interpolation, finite difference/volume schemes);
    - basics in probability and statistics (estimation of power density,
       probability distribution, moments, noise);
    - basics in programming and visualization (python or another high-level
       language);

    Competences to be aquired:
    - Particle transport with div-free and curl-free velocity fields,
       analysis of voids and clustering;
    - Statistical estimation of particle densities and spectra;
    - Mesh: Lagrangian versus Eulerian grids, Voronoi tesselation for mesh
       generation;
    - PDEs with moving boundaries, immersed boundary methods;
    - Simulation of PDEs: spectral methods (using FFT), coupling of different approaches (fluid-solid solvers);

    -----------------------------------------------

     

    Modèles aléatoires en écologie et évolution, Raphael Forien (14h CM, 6h TD), examen écrit

    La théorie de l'évolution décrit les processus écologiques et évolutifs qui façonnent la composition des populations et des communautés au cours des générations. Cette théorie a été progressivement formalisée dans un cadre mathématique au cours du XXe siècle, et continue de faire l'objet d'un nombre important de développement, notamment en probabilités.
    Ce cours présentera quelques modèles probabilistes permettant de décrire l'évolution de populations d'individus soumis à diverses forces écologiques et évolutives : compétition, sélection naturelle, mutations, etc. Nous étudierons pour cela des processus de naissance-mort avec interactions, des processus de branchement multi-types, ainsi que des modèles de génétique des populations. Nous verrons comment obtenir des approximations de ces processus dans différents régimes de paramètres, afin de décrire l'évolution à long terme de ces populations. Ce cours sera l'occasion d'étudier la convergence de processus stochastiques et d'appliquer les notions abordées dans les cours de probabilités du premier semestre.

     

    écoulement en eaux peu profondes, Charlotte Perrin (15hCM) et Thierry Gallouët (4.5h TP), 1/2 TP/CC + 1/2 Exam final

    Le but de ce cours est de présenter quelques éléments d’analyse théorique et numérique des équations de Saint-Venant modélisant des écoulements en eaux peu profondes.

    La première partie de ce cours montrera comment le système Saint-Venant peut être obtenu comme modèle « réduit » des équations de Navier-Stokes. Nous aborderons dans une deuxième partie quelques caractéristiques (en dimension d’espace égale à un) des solutions de ces équations en lien avec l’analyse des systèmes hyperboliques : rappels sur les solutions faibles et critère d’entropie, invariants de Riemann, ondes de choc et détentes, résolution du problème de Riemann. Enfin la dernière partie sera consacrée à la discrétisation des équations de Saint-Venant, on étudiera différents schémas de type volumes finis sur plusieurs cas tests (formation de discontinuités, rupture de barrage).

    TP: exemples de schemas numeriques pour les equations de st-venant a 1D d'espace

    Statistique Bayésienne computationnelle, application à l'étude du CO2 dans l'atmosphère, Christophe Gomez, Projet à rendre avec présentation oral

    Dans ce cours nous présenterons l'approche Bayésienne de la problématique d'estimation de paramètres en statistique et verrons sa mise en oeuvre pratique. Pour se faire, nous introduirons le principe des méthodes MCMC (Monte-Carlo Markov Chain) et présenterons certains algorithmes de simulation de ces chaînes de Markov. En particulier nous introduirons la méthode HMC (Hamiltonian Monte-Carlo). Nous utiliserons cette approche pour étudier l'évolution de la concentration en CO2 dans l'atmosphère à partir de jeux de données.

     

    Voir: https://maths-sciences.univ-amu.fr/master-maap/M2-CEPS pour les généralités sur le Master M2CEPS

    BOURSES Archimède:

     

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    L'institut Archimède propose des bourses d’un an pour des étudiants talentueux en cours d’inscription pour un diplôme de Master 2 (M2) en mathématiques ou informatique et interactions en vue d'une poursuite en thèse.

    Les candidatures doivent être complétées avant le 31 mars 2021, 23h59 heure de Paris. Voir informations et modalités sur
    https://labex-archimede.univ-amu.fr/fr/programmes/bourses-de-master-2-ap...

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    RESUME DES AUTRES COURS ET ENSEIGNANT.ES

    UE Socle commun 6ECTS

    EDP : François Hamel, 10h de cours

    Ce cours portera sur l'existence, l'unicité et des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles essentiellement linéairesde type transport, équation de Laplace, équation de Poisson, équation de la chaleur et équation des ondes.
    On montrera des formules explicites ainsi que des propriétés d'unicité, par différentes méthodes (caractéristiques, énergie, convolution avec des solutions fondamentales).

    Evaluation: Examen écrit 1h30 Note N1

    Calcul Scientifique : Julien Olivier, 6h de cours et 6h de TP

     Ce cours commencera avec une initiation à Python qui sera déclinée en approfondissements pour les étudiants déjà familiers avec ce langage de
    programmation.On étudiera et comparera ensuite différentes discrétisations élémentaires du problème 1D aux limites -u''=f, u(0)=u(1)=0 (différences finies,
    volumes finis, éléments finis). On étudiera quelques propriétés théoriques de certains schémas et on les mettra également en \oe uvre en TP.
      On abordera également la discrétisation volumes finis du problème de transport $u_t+cu_x=0$ a vitesse constante. On mettra en evidence numériquement
    et théoriquement les propriétés de stabilité et de convergence de ces discrétisations. On effectuera au passage quelques rappels sur les équations
    différentielles ordinaires et leur discrétisation.

    Evaluation: TP noté 2h Note N2

    Probabilités : Pierre Mathieu, 10h de cours

    Ce cours reverra les différentes notions de convergences des variables aléatoires, les théorèmes limites classiques et des éléments de la théorie de mesure.
     On étudiera ensuite l'espérance conditionnelle dans le cas général qui nous permettra de définir des Martingales. Les cours se terminera avec des propriétés classiques des Martingales en faisant le lien
     avec des applications

    Evaluation: Examen écrit 1h30 Note N3

    Statistique : Oleg Lepski, 10h de cours

     Modèles paramétriques. Construction d'estimateurs consistants. Méthodes particulières. Comparaison d'estimateurs, introduction à la théorie  minimax. Quelques modèles non paramétriques. Estimateurs à noyau et polynomiaux par morceaux.

    Evaluation: Examen écrit 1h30 Note: N4

    Note de l'UE "Socle Commun": N=0.25*(N1+N2+N3+N4)

    Semestre 1,  première période
    Mouvement brownien et Laplacien
    : Maxime Hauray, 14h de cours et 6h de TD, première période

    Histoire du Mouvement brownien, introduction via les marches aléatoires. On introduira la longue histoire du mouvement Brownien, de sa première observation, à ses explications physiques, et sa conceptualisation mathématique. On étudiera la convergence des marches aléatoires vers ce nouvel objet mathématique : le mouvement Brownien. On donnera sa définition mathématique rigoureuse et ses premières propriétés.
     Propriétés du Mouvement Brownien. Intégrale stochastique, formule d’Itô. On continuera l’étude des propriétés du mouvement Brownien (régularité des trajectoires, temps de sortie,…). On expliquera comment définir l’intégrale stochastique au sens d’Ito, en insistant sur la fondamentale formule d’Ito.
     Lien avec l’équation de la chaleur. Ces outils probabilistes nous permettrons de basculer vers l’analyse. Grâce à la formule d’Ito, nous ferrons le lien avec l’équation de la chaleur. Nous parlerons des solutions fondamentales de celles-ci, de son noyau, et des liens avec les probabilités de transition du mouvement Brownien. On expliquera comment le mouvement Brownien permet de donner des représentations probabilistes d’équations elliptiques (voire paraboliques).
     Simulation. Schéma d’Euler explicite. Aperçu des problèmes posés quand le terme intégré dépend du Brownien.

    Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE [examen terminal écrit durant 3h]

    Modèles markoviens : Pierre Mathieu, 14h de cours et 6h de TD, première période

    On s'intéressera dans ce cours à la notion de convergence vers l'équilibre de chaînes de Markov discrètes, à travers de nombreux exemples.
    Nous étudierons plus particulièrement les notions de distance en variation totale, ses liens avec les couplages de chaînes de Markov, les temps de mélange, et enfin le
    phénomène de cut-off. Toutes ses notions seront illustrées par de nombreux exemples (battage de cartes, marches aléatoires, modèle d'Ising, etc...).

    Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

    Méthodes d’estimation paramétrique : Oleg Lepski (cours) et Christophe Gomez (TP), 12h de cours et 9h de TP, première période

     Etude approfondie des méthodes bayésiennes et du maximum de vraisemblance. Inegalités exponentielles (échantillon fini). Optimalité de ces méthodes d'après l'approche minimax via la normalité asymptotique locale.
     Illustration numérique des méthodes présentées en cours et leurs limites. Calcul d'estimateurs dans des modèles plus compliqués nécessitant le recours à des méthodes numériques (algortihme EM, MCMC).

    Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

    EDP : aspects théoriques : Mihai Bostan, 14h de cours et 6h de TD, première période

    Rappel d Analyse fonctionnelle et de la theorie de la mesure

    fonctions mesurables, integrables

    les espaces Lp dans un ouvert de RN

    dualite dans Lp

    utilisation des derivees faibles, espaces de Sobolev

    Espaces H1, H2, theoreme d injection, inegalite de Poincare

    resolution des equations elliptiques, equation de Laplace, Poisson

    lemme de Lax Milgram, minimisation d une fonctionnelle, projection sur un convexe

    Equations de transport : solutions fortes, faibles, flot caracteristiques, transport de l element de volume, theoreme de Liouville, applications aux equations cinetiques

     

    Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE [examen terminal écrit durant 3h]

    Calcul scientifique : Florence Hubert, 14h de cours et 6h de TP, première période

     Une partie de ce cours sera spécifiquement consacré à l'apprentissage d'outils plus avancés de Python: utilisation avancée de Numpy,
    manipulation des matrices creuses et conception orientée-objet. Du point de vue mathématique, ce cours sera centré sur l'étude d'équations en 1
    dimension d'espace: retours/compléments sur l'équation de transport (stabilité de Von Neumann, décentrement, condition CFL), équation
    d'advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Ce cours sera l'occasion de découvrir ou d'approfondir certaines propriétés des schémas
    numériques (stabilité, convergence,\dots) qui n'auront pas été traité dans les autres cours. Les schémas seront essentiellement des schémas de type
    volumes finis. Une grande partie du temps sera consacré à l'élaboration de la démarche de calcul scientifique : cas-tests académiques pour
    validation, courbes d'erreur, avant des tests dans des cas plus généraux.

    Evaluation: Session unique CT 4h; note de l'UE  = 1/3 TP +2/3 Mémoire [examen terminal sur ordinateur (TP, 1/3 de la note) et rendu de projet (2/3 de la note)]

    Semestre 1,  seconde période
    Calcul stochastique : Sébastien Darses, 14h de cours et 6h de TD, seconde période

    Ce cours s'inscrit dans la continuité du cours Mouvement brownien et laplacien par Maxime Hauray. On révisera rapidement le Mouvement Brownien, comme objet prototype des processus gaussiens, processus de Markov et Martingales. On étendra le calcul stochastique vu dans le cours précédent aux martingales, on introduira et étudiera les équations différentielles stochastiques, les processus de diffusion, la représentation de solution d'EDP paraboliques et le théorème de Girsanov. On évoquera quelques applications en Mathématiques financières. On s'appuiera également sur le livre de Comets Meyre : Calcul stochastique et modèles de diffusion. 

    Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

    Statistique mathématique : Oleg Lepski, 18h de cours, seconde période

      -Théorie minimax sur les classes fonctionnelles:

      1) Estimation d'une densité de probabilité en un point fixé et dans la norme Lp sur la classe de Nikol'skii. Méthode à noyau.
      Estimation d'une densité multivariée.

      2) Modèle du bruit blanc gaussien. Estimation d'un signal dans L2 sur la classe de Sobolev. Méthode par projection. Estimation d'un signal dans Lp sur la classe d'H\"older. Méthode polynomiale par morceaux.

      3) Bornes inférieurs pour les risques minimax.

     -Introduction à la théorie adaptative.

    Evaluation: Session unique CT 3h qui donne la note de l'UE

    Méthodes numériques probabilistes : Bruno Schapira et Christophe Gomez, 12h de cours et 12h de TP, seconde période

    Ce cours présentera différents algorithmes basés sur des outils probabilistes, et permettant de résoudre divers problèmes :
     simulation de variables aléatoires, calcul approché d'intégrales, simulation de mesure invariante, optimisation stochastique,...

    Evaluation: Session unique CT 1h; note de l'UE  = 1/2 Oral + 1/2 Mémoire [la note est basée sur un projet avec un support à rendre et un oral]

    EDP : aspects numériques : Michel Mehrenberger, 14h de cours et 6h de TP, seconde période

    Ce cours sera constitué de deux parties. Dans une première partie on présentera le principe général des méthodes de Galerkin pour la résolution d'EDP elliptiques linéaires, on commencera par introduire formellement les espaces de Sobolev multi-dimensionnels, puis la formulation variationnelle approchée (bien posée) qui se ramène à la résolution d'un système linéaire avec de bonnes propriétés et le lemme de Céa. On verra enfin que la question centrale reste alors celle de l'approximation d'une fonction dans l'espace de dimension fini choisi.
    On étudiera ensuite en détails le cas d'éléments finis P1 1D. On commencera par voir comment l'usage des fonctions de forme permet d'obtenir dans ce cas un système tridiagonal. On étabilira des estimations d'erreurs dans ce cas (erreur en norme H1 et puis en norme L2 grâce au problème dual). En TP, on implémentera ces éléments finis P1 1D et on tracera les courbes d'erreurs correspondantes (2h environ). On présentera ensuite un ou plusieurs exemples plus complexes (principe vu en cours et implémentation/courbes d'erreurs en TP) : différentes conditions aux bords, cas P2 1D...       

    Dans une seconde partie on s'intéressera à la discrétisation de l'équation de transport 1D. On commencera par l'étude des schémas différences finies centré, décentrés (convergence du schéma décentré amont et non-stabilité au sens de Von Neumann des autres) dans le cas d'une vitesse et d'une condition initiale régulières. On s'intéressera ensuite au cas d'une vitesse constante et d'une donnée initiale $L^\infty$ et on étudiera la convergence du schéma volume fini décentré amont : estimations uniforme et Weak BV, compacité
    faible * séquentielle , et enfin convergence. 

    Evaluation: Session unique CT 3h; note de l'UE  = 2/3 Examen écrit + 1/3 Mémoire  [examen terminal écrit durant 3h (2/3 de la note) et rendus de TP (1/3 de la note)]

    EDP avancées : Enea Parini, 14h de cours et 6h de TD, seconde période

         Ce cours est dans la continuation naturelle de l'UE "EDP - aspects théoriques". Après avoir introduit les espaces de Sobolev en dimension N, on abordera dans un premier temps des EDP elliptiques, pour ensuite traiter le cas des EDP paraboliques, notamment l'équation de la chaleur avec un terme de source, et les équations de réaction-diffusion. Plus précisément :

     Espaces de Sobolev en dimension N. Théorèmes de plongement et de compacité.
     Formulation faible des EDP elliptiques. Existence d'une solution par méthode variationnelle. Principe du maximum. Résultats de régularité intérieure.
     EDP paraboliques: existence d'une solution par méthode de Galerkin. Principe du maximum parabolique. Comportement asymptotique. Equations de réaction-diffusion.

    Evaluation: un oral qui donne la note de l'UE

    Calcul scientifique avancé : Julien Olivier, 14h de cours et 6h de TP, seconde période

    Ce cours est centré sur les schémas numériques volumes finis pour les équations en 2 dimensions d'espace : transport et advection-diffusion stationnaire ou instationnaire. Une bonne partie du cours est consacré à la manipulation de maillage ``volumes finis'' et à l'assemblage des matrices des schémas par la structure arête. On étudiera certaines propriétés de ces schémas numériques (stabilité $L^2$ ou $L^\infty$, convergence,  préservation de la positivité,...). Dans ce cours on développera également la démarche de calcul scientifique (cas-tests, courbes d'erreur,...)

    Evaluation: Session unique CT 4h; note de l'UE  = 1/3 TP +2/3 Mémoire [examen terminal sur ordinateur (TP, 1/3 de la note) et rendu de projet (2/3 de la note)]

    Autres UE Semestre 1
    Anglais
    : Marion Calvini-Lefevbre, 18h de TD

    Evaluation: CCI, NF = 0.2*CC1+0.4*CC2+0.4*CC3 [contrôle continu intégral]

    PPPE : Maxime Hauray,  18h de TD

    Evaluation: Session unique CT (1h), NF = 1/2 Mémoire + 1/2 Oral [Oral avec rendu de projet]

     

    Cours proposés à l'école Centrale

    Des cours issus du nouveau parcours Climaths de l'Ecole Centrale pourront être choisis.

    Voir http://mtournus.perso.math.cnrs.fr/images/climaths_juillet.pdf  pour la description des cours

    Les cours suivants pourront être choisis (comptent pour le semestre 2, mais certains cours seront au semestre 1), sous réserve de compatibilité au niveau des emplois du temps

           Slot 1 : Analyse et simulation de traffic routier-opinion, T. Goudon
           Slot 2 : EDP en biologie, G. Chiavassa, J. Liandrat et M. Tournus
           Slot 3 : Apprentissage statistique, C. Pouet

     

    •  
  • M2 IMD

    Contenus des cours

    Cette page recense les cours susceptibles d'être proposés dans la filière IMD ; selon les années seules certaines des options décrites ci-dessous sont proposées, reportez vous à la page de l'année pour voir lesquelles. Les intervenants et contenus de cours décrits ci-dessous sont indicatifs, susceptibles d'être adaptés chaque année en fonction du public et des disponibilités des intervenants.

    Cours fondamentaux

    Algorithmique et complexité (SMACUA2L)

    Intervenants : Nadia Creignou, Victor Chepoi

    Complexité :

    • Mise à niveau : calculabilité et décidabilité : machines de Turing, thèse de Church, notion de réduction
    • Les classes P, NP et au delà : P, NP, problèmes fortement NP-complets, hierarchie polynomiale, compelxité en espace, complexité descriptive.
    • Approximation et complexité ; classes d'approximation, résultats de non approximabilité, réductions pour l'approximation et problèmes complets.
    • Complexité paramétrée : FPT et kernelisation.
    • Éventuellement : complexité du comptage.

    Algorithmes:

    • Mise à niveau:
      1. Algorithmes de graphes: parcours, plus court chemin, arbres couvrants, flots
      2. programmation linéaire: méthode simplex, dualité, modélisation des problèmes NP complèts comme programmes linéaires en nombres entiers;
    • Plutôt P:
      1. Diviser-pour-règner: multiplications des entiers, élément k minimal, transformée rapide de Fourier;
      2. Programmation dynamique: distance d'édition et distance d'édition en espace linéaire, structure secondaire d'un ARN, stable max d'un arbre;
      3. Algorithmes gloutons. Matroïdes et algorithmes gloutons. Axiomatiques des matroïdes par bases, circuits, fonction de rang;
      4. Méthode locale: recuit simulé, configurations stables dans les réseaux de Hopfield, mariage stable, coupe maximum d'un graphe (algo facteur 2);
    • Plutôt NPC:
      1. Algorithmes d'approximation: facteur 2 pour VERTEX COVER facteur 2 et 4/3 pour ordonnancement des tâches, facteur 2 NextFit et 3/2 FirstFitDecreasing pour BinPacking. FPTAS pour le  Sac à Dos. PTAS pour ordonnancement des tâches.
      2. Largeur arborescente d'un graphe. Algorithmes à paramètres exactspour VERTEX COVER dans des graphes de largeur arborescente bornée.
      3. PSPACE: QSAT et Planification ((s,t)-Reachability) sont dans PSPACE (theoreme de  Savitch);
      4. Randomisation (rappels): analyse de la complexité en esperance pour Quicksort, algorithmes d'approximation pour CoupeMax et MaxSAT (par randomisation et programmation linéaire). Dérandomisation pour MaxSAT. Comptage approximatif et  schéma d'approximation randomise FPTRAS pour  les comptage #DNF.
    • Thèmes complémentaires:
      • Algorithmes géométriques: diagrammes de Voronoi par diviser pour règner et par balayage, triangulations de Delaunay méthode incrémentale randomisée;
      • Algorithmes en ligne et compétitivité. Analyse en compétitivité de la k-pagination, le list accessing problem, et les k serveurs sur un arbre;
      • VC-dimension et le théorème des epsilon-réseaux et le PAC learning.

    Logique et automates(SMACUA3L & SMADU32L)

    Intervenants : Pierre-Alain Reynier, Lionel Vaux

    Logique

    • Mise à niveau :
      • Formules : calcul propositionnel, calcul des prédicats, modèles
      • Preuves : règles et arbres de déduction, résultats de correction, complétude et incomplétude
    • Logiques du second ordre
    • Calcul des séquents
    • Théorème d’élimination des coupures et applications.
    • Lambda-calcul, lambda-calcul typé, correspondance de Curry-Howard
    • Système F

    Automates

    • Mise à niveau : Automates finis et langages réguliers
    • Logiques FO et MSO sur les mots finis et infinis
    • Théorème de Büchi : équivalence automates finis et logique MSO
    • Automates de Büchi : propriétés de clôture, de décision, lien avec MSO
    • Automates d’arbres : propriétés de clôture, de décision, logique MSO sur les arbres
    • Logiques temporelles (LTL, CTL), application au model-checking
    • Automates alternants : équivalence avec les automates finis, application à LTL

    Modèles de calcul, systèmes dynamiques, théorie algorithmique des nombres (SMACUA4L)

    Intervenants : Pierre Guillon, Kevin Perrot, Sylvain Séné, Guillaume Theyssier, David Kohel

    • Modèles de calcul, systèmes dynamiques (voir le chapitre 1 du cours de l'EJCIM 2017 pour plus de précisions sur la partie automates cellulaires/pavage)
      • Automates cellulaires : équivalence des définitions locale et topologique, réversibilité, théorème du jardin d'Éden et de l'équilibre, décidabilité de ces propriétés en 1D et indécidabilité en 2D.
      • Pavages par tuiles de Wang et sous-shifts (de type fini) : indécidabilité du domino problem, apériodicité, arécursivité.
      • Réseaux d'automates booléens : dynamique et structure, expressivité, théorème des points fixes, influence des modes de mise à jour (déterministes et non déterministes), théorèmes de convergence au regard des cycles d'interactions.
    • Théorie algorithmique des nombres:

      On introduit la complexité algorithmique à travers des problèmes et questions de la théorie (élémentaire) des nombres, motivés par la cryptographie : comment faire des opérations de base (multiplication des entiers, exponentiation modulaire) nécessaires pour (l'implémentation dans un ordinateur) les corps finis, les problèmes algorithmiquement difficiles -- les logarithmes discrets et la factorisation -- sur lesquels reposent la sécurité des cryptosystèmes, et les meilleurs algorithmes connus pour les résoudre.

      Dans le cadre spécifique de la cryptographie, l'objectif est de comprendre que la sécurité (des cryptosystèmes à clef publique) se repose sur l'écart entre la complexité des algorithmes à temps polynômial et des algorithmes à temps soit exponentiel, soit sous-exponentiel. Dans le cadre général, les étudiants acquièrent des connaissances, appréciation, et capacité d'évaluer la complexité des problèmes algorithmiques qu'ils rencontrent dans la vie quotidienne d'un mathématicien.

    Options

    Mathématiques discrètes

    Théorie de l'information, algorithmique, cryptographie et codage (SMACUD6L)

    Intervenants : Stéphane Ballet, Alexis Bonnecaze, David Kohel

    Les outils mathématiques utilisés en cryptographie et codage évolue pour s'adapter à la puissance des ordinateurs et des services demandés.  C'est particulièrement vrai en ce qui concerne la cryptographie asymétrique dont la sécurité repose sur la difficulté de résoudre certains problèmes. L'introduction des courbes elliptiques a permis de réduire la taille des clés tout en gardant un niveau de sécurité identique. Les pairings ont permis d'obtenir de nouvelles primitives cryptographiques et ont en particulier amené la cryptographie basée sur l'identité. Le futur est actuellement principalement incarné par des outils basés sur des propriétés de la physique quantique.

    L'objectif de ce cours est de présenter ces outils théoriques ainsi que leurs applications en cryptographie et codage, et de s'intéresser à certaines implémentations en langages Sage, Magma et C.

    Plan du cours :

    • Introduction
    • Problèmes difficiles (DLP, factorisation, CDH, DDH, etc)
    • Courbes elliptiques pour la cryptographie
    • Pairings et IDBased crypto
    • Introduction à la cryptographie post-quantique
    • Introduction au codes correcteurs d'erreurs quantiques

    Modèles de calcul naturel (SMACUA6L)

    Intervenants : Giuseppe Di Molfetta, Kévin Perrot, Enrico Porreca, Sylvain Sené

    Cette UE vise à donner aux étudiants qui la suivent une "culture" dans le domaine du calcul naturel, à la frontière des mathématiques discrètes et de l'informatique (fondamentale). Nous y introduirons certains des principaux modèles classiques du domaine comme les automates cellulaires et plus largementles réseaux d'automates, ainsi que les piles de sable. Par ailleurs, une partie de cette UE visera à présenter les fondamentaux de l'informatique et de l'information quantiques. La présentation de ces différents domaines du calcul naturel permettra aussi d'établir des liens que les mathématiques discrètes et l'informatique entretiennent avec d'autres disciplines, comme la biologie et la physique.

    Topologie algèbrique discrète - topologie algorithmique (SMACUD1L)

    Intervenants :  Dimitri Ara, Alexandra Bac

    Introduction

    •   Topologie algébrique : du continu au discret

    Les fondements

    • Espaces topologiques, complexes simpliciaux et cubiques
    • Bases du langage des catégories
    • Un peu d’algèbre homologique
    • Homologie singulière
    • Invariance par homotopie
    • Suite exacte de Mayer-Vietoris et calculs

    Homologie simpliciale et cubique

    • Esquisse de comparaison avec l’homologie singulière
    • Ouverture vers les groupes d’homotopie

    Vers la géométrie discrète :

    • Notions de géométrie discrète (objets binaires et leur topologie, complexes associés)

    Calcul de l’homologie singulière :

    • soit par des approches algébriques (forme normale de Smith)
    • soit approches combinatoires (théorie de Morse discrète)
    • soit en combinant les deux (homologie effective - basée sur la notion de réduction ... là on est proche des catégories)

    Persistance homologique

    Dynamique symbolique (SMACUB9L)

    Intervenant : Pierre Guillon

    Dynamique symbolique 1D : sous-décalages, sofiques, SFT, représentation par graphes, lien avec la combinatoire des mots, représentation matricielle, propriétés dynamiques topologiques, entropie topologique.

    Dynamique symbolique 2D : pavages apériodiques, hiérarchie, problème du pavage du plan, simulation Turing, indécidabilité, systèmes substitutifs.

    Ouverture sur thématiques avancées : dynamique symbolique mesurée, dynamique symbolique sur les groupes, dynamique directionnelle et automates cellulaires.

    Théorie de Ramsey (SMACUD8L)

    Intervenant : Lionel Nguyen Van Thé

    Théorème de Ramsey, fini et dénombrable.

    • Applications : Théorèmes d'Erdos-Szekeres sur les sous-suites monotones, et sur les polygones convexes du plan.
    • Bornes : Bornes sup et double récurrence, borne inf et méthode probabiliste.

    Théorèmes de partition en théorie des nombres :

    • Théorème de Schur.
    • Théorème de Rado sur les systèmes d'équations régulières par partitions.
    • Théorème de van der Waerden, via le théorème de Hales-Jewett.

    Théorie de Ramsey euclidienne :

    • Ensembles de Ramsey du plan: Tout ensemble de Ramsey est sphérique.
    • Nombre chromatique du plan. Prétexte de ce probème pour évoquer la pertinence de l'axiomatique de la théorie des ensembles.

    Théorie de Ramsey infinie : (le but de cette partie sera surtout de poursuivre la réflexion sur la pertinence de la théorie des ensembles en tant que cadre axiomatique)

    • Théorème de Hindman, via les ultrafiltres.
    • Théorème de Galvin-Prikry.
    • Le rôle de l'axiome du choix et des axiomes de détermination.

    Introduction aux systèmes dynamiques et à la théorie ergodique (SMACUD7L)

    Intervenants: Pierre Arnoux, Arnaud Hillion

    1. Théorie ergodique
      • Systèmes dynamiques mesurables. Exemples issus de la géométrie, de la dynamique symbolique et de la théorie des nombres.
      • Théorème de récurrence de Poincaré. Théorèmes ergodiques de von Neumann et de Birkhoff.
      • Propriétés ergodiques : ergodicité, mélange faible et théorie spectrale, mélange fort. Classification des systèmes à spectre discret. Entropie métrique.
    2. Dynamique topologique
      • Systèmes discrets (fonction) et systèmes continus (flots).
      • Systèmes dynamiques topologiques. Point fixe, périodique, récurrent. Ensemble errant et non-errant, transitivité topologique, mélange topologique, minimalité, entropie topologique. Exemples.
    3. Quelques constructions classiques
      • Application de premier retour d'un flot sur une section.
      • Suspension d'une application avec temps de retour donné.
      • Extension naturelle au sens de Rokhlin.
      • Construction de mesures invariantes.
      • Application à des problèmes de géométrie, de théorie des nombres et de combinatoire: du billard aux fractions continues, au flot géodésique sur la surface modulaire et aux substitutions.

    Combinatoire des mots (SMACUD4L)

    Intervenants : Julien Cassaigne

    Résumé ou plan du cours :

    • Combinatoire des mots finis (morphismes, codes, conjugaison, periodicité)
    • Combinatoire des mots infinis (mots morphiques, récurrence, complexité, graphes de Rauzy)
    • Quelques applications (en dynamique, en théorie des nombres)

    Théorie algorithmique des nombres (SMACUD5L)

    Intervenants : Yves Aubry, Stéphane Ballet, David Kohel, Stéphane Louboutin, Serge Vladut

    Résumé ou plan du cours:

    La théorie computationnelle des nombres suscite de plus en plus d’intérêt au sein de la société en raison de son utilité dans le domaine de la sécurité
    informatique en générale. L’utilisation d’algorithmes mettant en oeuvre des objets mathématiques de plus en plus sophistiqués nécessite en amont une
    approche de la théorie algorithmique des nombres orienté vers l’effectivité. Dans ce cours, nous nous proposons donc d’étudier des algorithmes ou méthodes de calculs en géométrie algébrique effective :

    • algorithmique dans les corps finis
    • arithmétiques efficaces sur les courbes elliptiques
    • calculs explicites dans les espaces de Riemann-Roch définis sur des corps finis
    • arithmétique des algèbres de quaternions et courbes de Shimura
    • calculs explicites dans les corps de nombres

    Nous illustrerons le cours par des calculs en Sage et/ou Magma.

    Algorithmique et combinatoire

    Fondements de la PPC et SAT (SMACUA7L)

    Intervenant : Philippe Jegou, Chu-Min Li

    Cette option traite des fondements de la programmation par contraintes (PPC) et de la résolution de SAT. Elle couvre les aspects allant des algorithmes, architectures et fondements théoriques des solveurs SAT et CSP, jusqu'à l'étude des classes polynomiales dans ces deux formalismes.

    Les points abordés portent sur :

    • classes polynomiales ("tractable classes") pour SAT, CSP et au-delà ;
      • classes définies par restrictions de langages,
      • classes définies par décomposition de graphes et hypergraphes (exploitation des résultats sur les problèmes exprimables en MSO sous l'hypothèse de largeurs bornées)
      • classe hybrides
    • architecture des solveurs :
      • algorithmes de résolution
      • algorithmes de propagation
      • heuristiques
      • clauses et no-goods learning
      • notion de redémarrage avec preuve de complétude
    • méthodes de résolution pour l'optimisation dans les formalismes VCSP, MaxSAT, WMaxSAT,
      • méthodes complètes (B&B et ses optimisations)
      • méthodes incomplètes (recherche locale, recherche tabou, algorithmes génétiques,...)
      • algorithmes de propagations de pondérations

    Algorithmique distribuée (SMACUA9L)

    Intervenants : J. Chalopin, S. Das, E. Godard, D. Imbs, A. Labourel

    L'objectif de ce cours est de présenter des problèmes fondamentaux d'algorithmique distribuée, ainsi que des résultats de calculabilité et de complexité associés. On utilisera des méthodes algorithmiques pour résoudre ces problèmes classiques et des méthodes combinatoires et topologiques pour montrer des résultats d'impossibilité et des bornes inférieures de complexité

    Modèlisation des Systèmes Distribués

    • Panorama des systèmes distribués
    • Calculabilité distribuée
    • Équivalence entre modèles
    • Vers un modèle unifié ?

    Systèmes à passages de messages

    • Modèles de communication
    • Algorithmes pour la diffusion et l'élection
    • Algorithmes probabilistes pour les réseaux anonymes

    Mémoire partagée

    • Impossibilité du consensus sans attente
    • Modèle du snapshot itéré et impossibilité du k-consensus
    • Diffusion tolérante aux défaillances
    • De la mémoire partagée aux réseaux dynamiques

    Agents mobiles

    • Modèles et mesures de complexité
    • Exploration et rendez-vous

    Selon les années et les intervenants, l'importance relative de ces différents thèmes pourra varier.

    Optimisation combinatoire (SMACUB4L)

    Intervenants : B. Couëtoux, G. Naves et Y. Vaxès

    Un problème d'optimisation combinatoire est caractérisé par un espace de solutions très grand mais que l'on peut décrire de manière compacte, comme l'ensemble des couplages, des st-chemins, des arbres couvrants ou des cycles hamiltoniens d'un graphe ou encore l'ensemble des permutations de n entiers. Une fonction objectif permet d'évaluer la qualité de chacune des solutions de l'espace de recherche. Résoudre un problème d'optimisation combinatoire c'est trouver une solution qui minimise ou maximise la fonction objectif. De nombreux problèmes aussi bien pratiques que théoriques se formulent de cette manière.

    L'objectif du cours est de présenter quelques idées fondamentales qui permettent de concevoir des algorithmes efficaces pour résoudre de façon exacte ou avec une garantie de performance des problèmes d'optimisation combinatoire.

    On insistera en particulier sur les notions suivantes :

    1. L'approche polyédrale consiste à représenter chaque solution de l'espace de recherche par son vecteur caractéristique et à étudier l'enveloppe convexe de ces vecteurs. Si celle-ci peut-être décrite de façon compacte (par exemple, par un nombre d'inégalités polynomial dans la taille de l'entrée du problème) alors la programmation linéaire permet d'obtenir un algorithme de résolution efficace.
    2. Une telle description vient souvent avec un résultat de type min-max qui permet de définir l'optimum du problème de minimisation que l'on cherche à résoudre comme l'optimum d'un autre problème de maximisation (ou l'inverse). La dualité de la programmation linéaire fournit un tel résultat. Elle est à la base de la conception de nombreux algorithmes efficaces (polynomial) de résolution exacte ou approchée via la méthode primale-duale.
    3. Même lorsqu'une représentation polyédrale compacte n'est pas disponible, en particulier pour les problèmes NP-difficiles, l'approximation de l'enveloppe convexe par des inégalités linéaires, appelées coupes, permet de fournir des bornes cruciales pour la résolution pratique des problèmes NP-difficiles par des méthodes de type séparation-évaluation-coupes (branch-and-cut). Nous illustrerons chacune de ces notions ou approches sur différents problèmes classiques : couplage, flot et coupes, arborescence, TSP, indépendant commun à deux matroïdes, arbre et réseau de Steiner, problème de localisation, etc.

    Selon les années et les intervenants, la liste des problèmes étudiés et l'importance relative des différentes notions pourra varier.

    Prérequis: Un intérêt pour les structures discrètes, la programmation linéaire et l'algorithmique. Toutes les notions utilisées dans le cours seront définies et expliquées.

    Théorie métrique des graphes (SMACUA8L)

    Intervenants : J. Chalopin, V. Chepoi et Y. Vaxès

    L'objectif du cours est de présenter les résultats principaux de la théorie métrique des graphes et des liens existant entre cette théorie et d'autres domaines comme la théorie géométrique des groupes ou la théorie de la concurrence.  On présentera des méthodes algorithmiques, combinatoires, géométriques et topologiques.

    Plongements isométriques dans des hypercubes et des produits de graphes

    Graphes médians, graphes bridged et la méthode "local vers global"

    • Équivalence entre les graphes médians, les complexes cubiques CAT(0) et les domaines de structures d'événements.
    • Équivalence entre graphes bridged et complexes simpliciaux systoliques

    Graphes et espaces hyperboliques au sens de Gromov

    • Métrique d'arbres et 0-hyperbolicité
    • Définitions et caractérisations de l'hyperbolicité
    • Propriétés algorithmiques des graphes hyperboliques
    • Problème du mot dans les groupes hyperboliques

    Plongement l_1 à faible distorsion et théorème de Bourgain. Applications algorithmiques

    Graphes de Helly et enveloppes injectives

    Selon les années et les intervenants, l'importance relative de ces différents thèmes pourra varier.

    Prérequis : Un intérêt pour la combinatoire, les structures discrètes et l'algorithmique. Toutes les notions utilisées dans le cours seront définies et expliquées.

    Ensembles ordonnés en combinatoire (SMACUB3L)

    Intervenants : F. Olive, F. Brucker, K. Knauer, L. Santocanale

    Résumé ou plan du cours :

    1. Ensembles ordonnées et treillis
    2. Largeur d'un ensemble ordonné et ses partitions en chaînes, théorème de  Dilworth.
    3. Ensembles ordonnés série parallèle (*)
    4. Familles d'ensembles fermés sous l'intersection (familles de Moore), opérateurs de clôture, connexions de Galois
    5. Treillis distributifs et modulaires
    6. Caractérisations locales des treillis (semi)distributifs et (semi)modulaires
    7. Bijection entre treillis distributifs et ensembles ordonnés finis, théorème de Birkhoff
    8. Treillis distributifs sur objets combinatoires: c-orientations des graphes, couplages des graphes bipartis planaires, tensions des graphes, pavages de dominos, treillis de chemins
    9. Matroïdes simples et treillis géométriques
    10. Géométries convexes, antimatroïdes, treillis semidistributifs
    11. Treillis semidistributifs sur objets combinatoires: arbres binaires,  (associaèdres, treillis de Tamari et Cambriens) ; permutations (permutoèdres)
    12. Groupes de Coxeter finis et leurs treillis (*)
    13. Hiérarchies (*)

    (*) : Selon le temps à disposition

    Méthodes formelles

    Modélisation et simulation à événements discrets (SMACUB6L)

    Intervenants : L. Brenner, I. Demongodin, C. Frydman, A. Hamri

    Ce cours porte sur les méthodes de spécification des systèmes complexes et les formalismes à événements  discrets. Afin de maîtriser la spécification comportementale de ces systèmes, ce cours présente les formalismes permettant une spécification de haut niveau. Il fournit les bases théoriques en modélisation, analyse, simulation à événements discrets pour les domaines de l’informatique et des systèmes dynamiques complexes.

    Plan de cours :

    Présentation de divers formalismes à événements discrets avec et sans représentation du temps :

    • DEVS : Discrete EVent System Specification
    • RdP : Réseaux de Petri

    Théorie des automates : extensions et applications (SMACUB5L)

    Intervenants : N. Baudru, S. Fratani, B. Monmege, JM Talbot, PA Reynier

    L’objectif du cours est de présenter une ou plusieurs extensions du modèle classique des automates finis, en insistant sur les résultats positifs obtenus pour cette extension, les applications visées par cette extension, ainsi que les enjeux actuels.

    • Automates pondérés : équivalences entre automates et logiques, résultats de décidabilité, modèles pour les arbres et pour les mots, automates  probabilistes
    • Transducteurs : modèles unidirectionnels et bidirectionnels, modèle des SST, déterminisation et fonctionnalité
    • Ordre supérieur : langages indexés, langages d’ordre supérieur, automates à piles de piles

    Selon les années et les intervenants, la liste des problèmes étudiés et l'importance relative des différentes notions pourra varier.

    Prérequis: Un intérêt pour les automates, la logique et l’algorithmique. Toutes les notions utilisées dans le cours seront définies et expliquées.

    Vérification : de la théorie à la pratique (SMACUB1L)

    Intervenants potentiels : C. Bertolissi, D. Lugiez, R. Morin, JM Talbot, B. Monmege, PA Reynier

    Résumé ou plan du cours :

    L’objectif du cours est de montrer une ou plusieurs approches de type « méthode formelle » pour la vérification et/ou la synthèse. Il s’agira de présenter aux étudiants les bases théoriques sur lesquelles repose l’approche en question, et d’aller, dans la mesure du possible, jusqu’à la présentation d’outils logiciels existants.

    • Vérification et synthèse de systèmes temps-réel : automates et jeux temporisés, extensions à coûts et robustesse, logiciel UppAal TiGa
    • Vérification de protocoles cryptographiques : logique de séparation, logiciel ProVerif
    • Analyse et conception de systèmes distribués : théorie des traces de Mazurkiewicz, MSC, réseaux de Petri
    • Synthèse à partir de spécifications LTL : logique LTL, jeux de parité, extensions temps-réel
    • Sécurité de workflow : modélisation de politiques de sécurité et leurs propriétés, applications au contrôle d accès dans les processus métiers

    Selon les années et les intervenants, la liste des problèmes étudiés et l'importance relative des différentes notions pourra varier.

    Prérequis: Un intérêt pour les automates, la logique et l'algorithmique. Toutes les notions utilisées dans le cours seront définies et expliquées.

    Sémantique dénotationnelle et logique linéaire (SMACUB8L)

    Intervenants : Emmanuel Beffara, Myriam Quatrini, Laurent Regnier, Lionel Vaux

    Dans une première partie le cours présente la sémantique dénotationnelle à partir de la notion d'espace cohérent, qui est à l'origine de la logique linéaire, dont on étudiera les propriétés. On présentera notamment le calcul des séquents de la logique linéaire, ainsi que la notion de réseau de preuve, qui fournit une approche asynchrone de l'élimination des coupures. On termine le cours par une ouverture à des sujets plus contemporains.

    Plan :

    1. Le modèle cohérent du λ-calcul.
    2. Logique linéaire : calcul des séquents et élimination des coupures.
    3. Réseaux de preuve et séquentialisation : le cas multiplicatif.
    4. Exponentielles dans les réseaux.
    5. Prolongements (au choix, en fonction du temps et des intervenants) :
      1. Au-delà du cas purement fonctionnel : opérateurs de contrôle ; concurrence.
      2. Sémantique quantitative et développement de Taylor.
      3. Focalisation et recherche de preuve.
      4. Ludique.

    Logique catégorique d'ordre supérieur (SMACUD2L)

    Intervenants : Dimitri Ara, Charles Grellois, Luigi Santocanale, Lionel Vaux

    Résumé ou plan du cours :

    Le cours se propose d'exposer certains développements de la logique contemporaine intégrant le langage des catégories comme un outil de description, de compréhension ou de conception. Historiquement motivée par la recherche fondamentale en logique et pour la conception des langages de programmation, cette approche est aujourd’hui vivante dans la pratique de la programmation fonctionnelle.

    Le cours sera éclairé par de nombreux exemples tirés des mathématiques (algèbre, ordres, topologie, etc.) et de l'informatique (automates, structures de données, programmation fonctionnelle, etc.).

    Progression :

    1.  Théorie des catégories
      1. Catégories, foncteurs, transformations naturelles
      2. Limites et colimites
      3. Adjonctions et monades
    2. Catégories cartésiennes fermées
      1. Catégories monoidales
      2. Catégories cartésiennes fermées et lambda-calcul simplement typé
      3. Modèles du lambda calcul pur (objets réflexifs) *
    3. Logique catégorique
      1. Logique intuitionniste d'ordre supérieur
      2. Théorie des ensembles intuitionniste *
      3. Modèles de réalisabilité
      4. Objet de valeur de vérité dans une catégorie et topos

    * : selon le temps à disposition.

    Réalisabilité classique (SMACUD3L)

    Intervenants : Emmanuel Beffara, Laurent Regnier, Lionel Vaux

    Résumé ou plan du cours :

    On commencera par rappeler les principes de la réalisabilité intuitionniste dans le cadre de l'arithmétique du second ordre, la présentation de la machine de Krivine pour le lambda-calcul avec continuations et son utilisation pour étendre la réalisabilité intuitionniste à la logique classique.

    On passera ensuite aux résultats de base de la théorie : réalisation du schéma de récurrence, terme de stockage, réalisation des formules du premier ordre de l'arithmétique.

    Si le temps le permet on abordera les extensions au cadre de la théorie des ensembles et l'on verra comment la réalisabilité peut être vue comme une extension du forcing permettant de construire des modèles inédits de ZFC.

    ASP : fondements théoriques, calculs et applications (SMACUB7L)

    Intervenants : Eric Würbel, Belaid Benhamou, Vincent Risch

    ASP est un paradigme de représentation et de raisonnement sur les connaissances, apparu il y a une vingtaine d'années, et qui connaît actuellement un développement important de par l'existence de solveurs efficaces. Le but de cette option est d'étudier ASP sous ses angles théoriques, calculatoires, et pratiques.

    • fondements théoriques :
      • modèles stables, non-monotonie
      • equilibrium logics, équivalences de programmes
      • sémantiques modales
    • calcul des modèles stables :
      • solveurs de type branch and bound
      • solveurs basés sur la recherche de conflits
    • applications :
      • ASP en pratique
      • méthodologies de développement

    Introduction à la logique modale (SMACUA5L)

    Intervenants : C. Greillois, E. Wurbel, V. Risch, N. Olivetti, L. Santocanale

    Résumé ou plan du cours :

    1. Introduction
    2. Sémantique de Kripke*
    3. Système fondamentaux : K, 4, 5, B, D, T,
    4. Axiomatisation et complétude des axiomatisations
    5. Systèmes de preuves et méthodes de décision (tableaux)
    6. Théorie de la correspondance (Salhqvist, Kracht) (*)
    7. Logique computationnelles (PDL, mu-calcul) (*)
    8. Logique modale pour l'lA (logique épistémique et autres) (*)

    (*) : selon le temps à disposition.

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